3.2Середні величини та познаки варіації.

При вивчені масових явищ одна з основних задач статистики є вивчення окремих властивостей кожної сукупності явища. Для того щоб виявити характерні особливості сукупності, використовують середні величини. Середня величина характеризує всю вагу одиниць сукупності.

В статистиці використовують декілька видів середніх величин. Основними серед них є: середня арифметична, середня гармонійна, середня квадратична і середня геометрична.

Середня арифметична – основний вид середніх величин. Буває проста і зважена. Проста – це сума індивідуальних значень варіруємої ознаки, що поділена на кількість одиниць сукупності. Зважена – середня із варіантів, що повторюється не однакову кількість раз чи має різну статистичну вагу.

Середня квадратична використовується для оцінки варіації, тобто коли треба оцінити середню варіацію ознаки. Середнє гармонійне і середнє геометричне в даному випадку не знаходимо.

Середня арифметична проста:

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

n ‑ кількість одиниць сукупності.

Середня арифметична зважена. Оскільки сукупність згрупована, а частоти варіантів задані явно, то визначаємо середню арифметичну зважену величину:

;

де Х_і – індивідуальні значення ознаки;

m_і ‑ кількість однакових варіант.

Середні показники:

-кількісна ознака час простою

Таблиця 3.2

№	Інтервал	Середина інтервалу	Кількість водіів,чол
1	37,4-39,44	38,42	2
2	39,44-41,48	40,46	1
3	41,48-43,52	42,5	9
4	43,52-45,56	44,54	5
5	45,56-47,6	46,58	7

Х= (38,42×2+40,46×1+42,5×9+44,54×5+46,58×7)/24=43,69

Цей показник показує скільки в середньому складає час простою – 43,69.

-кількісна ознака виручка:

Таблиця 3.3

№	Інтервал	Середина інтервалу	Кількість водіів,чол
1	1277-1387,4	1332,2	2
2	1387,4-1497,8	1442,6	11
3	1497,8-1608,2	1553	8
4	1608,2-1718,6	1663,4	2
5	1718,6-1829	1773,8	1

Х=(1332,2×2+1442,6×11+1553×8+1663,4×2+1773,8×1)/24=1036,56

Цей показник показує скільки в середньому становить виручка – 1036,56 грн.

Крім визначення середніх величин, щоб оцінити коливання ознаки сукупності, в цьому розділі роботи знаходимо показники варіації, які показують як розмістились варіанти ознаки навколо середнього значення ознаки. До них відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсія.

Розмах варіації - становить різницю між мінімальним і максимальним значенням ознаки. Перевага показника у тому, що його знаходження дуже просте. Недолік – із всіх одиниць сукупності беруться лише 2 одиниці, що мають максимальне та мінімальне значення.

R_х = x_max – x_min

• кількісна ознака час простою:

R_x =47,6 -37,44=10,16 (год.)

• кількісна ознака виручка:

R_x = 1829 -1227=602(грн..)

Час простою варіює у розмірі 10,02 , а виручка – у розмірі 602.

Середнє лінійне відхилення призначене для вимірювання варіації ознаки в сукупності. Цей показник відрізняється від попереднього тим, що він враховує всі одиниці сукупності , проте є недолік: не враховується знак відхилення ознаки від середньої величини.

де - середнє арифметичне ознаки.

х_і – індивідуальне значення ознаки.

• кількісна ознака час простою:

Індивідуальні значення часу простою коливаються в межах ±1,99(год.)

• кількісна ознака виручка

Індивідуальні значення виручки коливається в межах ± 465,84.(грн..)

Середнє квадратичне відхилення – корінь квадратний із середнього квадрату відхилень від середніх значень. Воно показує, на скільки в середньому індивідуальне значення ознаки відрізняється від середніх величин.

• кількісна ознака час простою:

Квадратичне відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки – час простою від середнього значення становить 1,902 (год.)

• кількісна ознака виручка:

Квадратичне відхилення індивідуальних значень кількісної ознаки – виручка від середнього значення становить 476,595(грн.)

Дисперсія – це абсолютний показник варіації, квадрат квадрата відхилення. Зважена дисперсія визначається за формулою:

• кількісна ознака час простою:

_{δ = (2,368)}²_=5,6 (год.)

• кількісна ознака виручка:

_{δ = (476,595)}²_{=227142,79(грн.)}

При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики – коефіцієнти варіації, які обчислюються як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу.

Розрахуємо коефіцієнти варіації:

лінійний (коефіцієнт варіації):

• кількісна ознака час простою:

_{ν =(1,99/43,69)100%=4,55%}

• кількісна ознака виручка

_{ν =(465,84/1036,56)100%=44,9%}

квадратичний (коефіцієнт кореляції ):

• кількісна ознака час простою:

_{ν =(1,902/44,61)100%=4,26%}

• кількісна ознака виручка:

_{ν =(476,596/1036,56)100%=45,9%}

Ввжається, що якщо V>30- зв'язок не однорідний

V<30- зв'язок однорідний

3.3 Структурні середні

Структурні середні – це середні, що характеризують структуру варіаційних рядів.

До середніх структурних відносяться дві величини, які називаються "мода" і "медіана".

Мода (модальна величина) ряду – це така величина, яка найбільш часто зустрічається в даному розподілі. Для інтервального варіаційного ряду з однаковими інтервалами моду обчислюють за формулою Орженцького:

де x₀ – це нижня межа модального інтервалу.

i – довжина інтервалу.

m_m0 – частота модального інтервалу,

m_m0-1 – частота інтервалу, що передує модальному,

m_m0+1 – частота інтервалу, що йде після модального інтервалу.

Визначимо моду для часу простою .

• кількісна ознака час простою, модальний інтервал (41,48-43,52):

• це означає, що найбільше зустрічається у одиниць сукупності часу простою автомобілів, рівний 42,8;

• кількісна ознака виручка,модальний інтервал(1387,4-1497,8):

це означає, що найбільше зустрічається у одиниць сукупності за виручкою, рівний 1470,2.

Медіаною називається значення варіруючої ознаки, що знаходиться в середині ранжируємого ряду і поділяє цей ряд на дві рівні частини.

;

де Х₀ – нижня границя медіанного інтервалу;

і – величина інтервалу;

m_і – загальна сума частот усіх інтервалів;

m_е – частота медіанного інтервалу;

Sm_e-1 – сума частот до медіанного інтервалу.

• кількісна ознака коефіцієнт β, медіальний інтервал (41,48-43,52):

Можна зробити висновок, що у50% водіїв значення коефіцієнту β більше 43,52, а у інших 50% - менше 43,52.

• кількісна ознака виручка, медіальний інтервал (1497,8-1608,2):

Можна зробити висновок, що у 50% водіїв виручка більше 1484 км, а у інших 50% - менше 1484 км.