2. Уравнение Гельмгольца

Следует напомнить, что - вектор, состоящий из трех компонент

, (2.1)

и уравнение (1.11) представляет собой систему из трех аналогичных уравнений для каждой такой компоненты, т.е. каждое уравнение будет иметь такой же вид как (1.11), но вместо , надо писать с индексом, соответствующий данной компоненте. Для определенности выберем . Т.е. уравнение будет выглядеть как

. (2.2)

В курсах математики доказывается, что решение такого типа уравнения выглядит следующим образом

, (2.3)

где - произвольные функции, . Проанализируем полученное выражение.

Решение состоит из двух слагаемых. Рассмотрим каждое из них. Удобнее начать со второго. В силу однозначности функции из условия следует, что , т.е. положение однозначно зависит от времени, при этом вид функции не меняется. Другими словами, если в момент времени она находилась в точке с координатой , то в момент времени , эта функция, без всяких деформаций будет находиться в точке с координатой , которую можно определить из следующего соотношения

. (2.4)

Откуда смещение

. (2.5)

Таким образом, за время функция (в нашем случае компонента магнитного поля) двигалась с постоянной скоростью в направлении оси . Первое слагаемое описывает аналогичный процесс, только поле в этом случае движется в противоположную сторону. Таким образом, решение этого уравнения, в общем случае, описывает движения двух, вообще говоря, разных компонентов (а это и есть электромагнитные волны) в двух противоположных направлениях.

Таким образом, является скоростью распространения электромагнитных волн. В вакууме ; подставляя сюда значения и из (1.6), найдем, что скорость электромагнитных волн в вакууме или скорость света равна (ее принято обозначать буквой ).

=2,9979 10⁸ [м/сек], (2.6)

т.к. [генри фарада] = [сек²].

Из выражения для следует, что если электромагнитные волны распространяются в среде, где и , их скорость уменьшается, т.к. .

, (2.7)

где . Величина , показывающая, во сколько раз скорость света в среде меньше скорости света в вакууме называется показателем преломления этой среды. Это параметр характеризует среду и, поэтому, он играет очень большую роль в оптике.

Общее решение уравнения в частных производных определяются с точностью до произвольных функций. Конкретное решение получается после задания начальных и граничных условий, т.е. если - решение волнового уравнения, то

; - начальные условия , (2.7а)

-граничное условие, (2.7б)

Граничные условия в волновых процессах в подавляющем большинстве случаев представляют собой периодические функции времени и их можно представить в виде рядов Фурье.

. (2.8)

Если ограничиться рассмотрением установившихся процессов, т.е. пренебречь переходными процессами (в оптическом диапазоне это вполне оправдано), то решение будет иметь вид

, (2,9)

где и пока неизвестные функции, представляющие собой амплитуды. После подстановки (2.9) в волновое уравнение и приравнивания выражений у одинаковых гармоник, для каждой амплитуды мы получим уравнение в частных производных, не содержащее .

Очень удобно представлять периодические процессы в комплексной форме, используя формулу Эйлера

. (2.10)

Тогда выражение (2.9) будет выглядеть следующим образом

, (2.11)

где - амплитуда, - фаза. При такой записи, все промежуточные преобразования проводятся значительно проще, а обратный переход к тригонометрической форме записи осуществляется при помощи операции взятия действительной части комплексного выражения, правда все преобразования должны быть линейными.

Будем решать волновое уравнение (1.10) для одной из компонент (для определенности ) в предположении, что граничное условие представляет собой одночастотную периодическую функцию времени (для оптического диапазона это условие имеет физический смысл, об этом позже). Т.е. будем искать решение в виде

, (2.12)

где - т.н. комплексная амплитуда. После подстановки (2.12) (1.10) и упрощений получим

, (2.13)

т.к. , где - параметр, называемый волновым числом. Полученное выражение называется уравнением Гельмгольца, оно проще волнового тем, что не имеет зависимости от времени.