Контрольні запитання

1. Які задачі приводять до розгляду поняття про похідну?

2. Дати означення похідної та пояснити її фізичний і геометричний зміст.

3. Яка функція називається диференційованою в точці х, на інтервалі?

4. Сформулювати і довести необхідну ознаку диференційованості функції? Що можна сказати про оберенену теорему?

5. Сформулювати і довести основні властивості диференційованих функцій.

6. Сформулювати і довести теорему про виведення основних формул похідних функцій.

7. Пояснити суть методу логарифмічного диференціювання.

8. Що таке диференціал? Дати означення, пояснити геометричний зміст.

Тема 2.2. Похідні і диференціали вищих порядків

Мета: узагальнити знання поняття похідної та диференціала, розширивши його, похідні та диференціали вищих порядків; вивчити теореми, які найчастіше застосовуються при розв’язуванні задач та вправ, що вимагають дослідження функцій на проміжку.

План.

1. Похідні та диференціали вищих порядків.

2. Основні теореми диференціального числення (Ролля, Лагранжа, Коші).

3. Правило Лопіталля та його застосування.

1. Нехай функція f(x) визначена в інтервалі (a; b). До цих пір ми користувалися поняттям похідної . Це похідна першого порядку. Якщо в інтервалі (a; b) існує похідна першого порядку і якщо ця похідна, яка є в свою чергу функцією, має похідну по x в усіх точках інтервалу , то похідна від першої похідної називається за означенням похідною другого порядку від цієї функції або другою похідною і позначається , .

Похідна другого порядку , розглядувана як деяка функція, визначена в інтервалi , може мати похідну в інтервалі . Похідна від похідної другого порядку називається похідною третього порядку відносно даної функції або третьою похідною .

Взагалі похідна n –го порядку функції визначається як похідна похідної порядку (n-1) . Інтервал , в якому визначена похідна n -го порядку може збігатися з інтервалом , в якому визначена функція, а може бути і частиною цього інтервалу.

Наприклад

;

;

;

і т.д.

Справедливе наступне твердження:

Якщо функції f(x) і (x) мають похідні n порядку в точці x , то в цій точцi мають похідну порядку n і функції cf(x), f(x)+ (x), f(x)- (x), f(x)(x), причому

;

;

;

Правильність цих рівностей випливає з основних правил диференціювання функцій.

Функція f(x), що має похідну n-го порядку в точці x називається n разів диференційовною в цій точці. Якщо функція n разів диференційовна в кожній точці інтервалу (a,b), то вона називається n разів диференційованою в цьому інтервалі.

Якщо функція визначена на відрізку [a; b], має похідну на інтервалі (a; b), а в точці a (b) має праву (ліву) похідну , то кажемо, що функція f(x) має похідну на відрізку [a; b]. Якщо цю праву (ліву) похідну розглядати як функцію, то можна говорити про її диференційовність, а значить і про праву (ліву) похідну другого порядку в відповідних точках. Функцію назвемо двічі диференційовною, на відрізку [a; b], якщо вона двічі диференційовна на інтервалі (a; b) і має праву (ліву) похідну другого порядку в точках a і b відповідно.

Аналогічно означається похідна n порядкy на відрізку [a; b].

Нехай функція f(x) задана на інтервалі (a; b), тоді диференціал цієї функції запишемо у вигляді ,

де x - незалежна змінна, і, отже, dx=x.

Диференціал функції є функція, залежна від двох незалежних змінних x і x. Припустимо, що x - фіксоване стале. Тоді диференціал функції є функція від х. Якщо диференціал є функція, диференційовна в усіх точках інтервалу , то в цьому інтервалі можна говорити про диференціал від диференціала або про диференціал другого порядку, позначається .

Диференціал другого порядку, розглядуваний як деяка функція, визначена в інтервалi , може бути диференційовний в інтервалі . Диференціал від диференціала другого порядку називається диференціалом третього порядку відносно даної функції або третім диференціалом.

Взагалі диференціал n –го порядку функції визначається як диференціал диференціала порядку (n-1) . Інтервал , в якому визначений диференціал n -го порядку може збігатися з інтервалом , в якому визначена функція, а може бути і частиною цього інтервалу.

Позначають .

Інваріантність форми для диференціалів вищих порядків порушується.

2. Теорема Ролля. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a; b], диференційовна в інтервалі (a; b), причому f(a)=f(b), то існує принаймні одна точка c(a; b) така, що

.

Геометричним змістом теореми Ролля є твердження: якщо функція задовільняє теорему Ролля, то серед усіх дотичних, до графіка функції знайдеться хоч одна паралельна до осі Ох.

Точка x₀ називається нулем функції f(x), якщо f(x₀)=0. З теореми Ролля випливає наслідок.

Наслідок. Якщо функція неперервна на відрізку і диференційовна на інтервалі, то між кожними нулями функції міститься нуль похідної.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b] і диференційовна на інтервалі (a;b), то існує принаймні одна точка c(a;b) така, що .

Геометричним змістом теореми є твердження: серед усіх дотичних до графіка функції знайдеться хоч одна паралельна до хорди, що стягує точки A(a;f(a)) i B(b;f(b)).

Наслідок. Якщо функція диференційовна в інтервалі (a;b), то в цьому інтервалі похідна не може мати точок розриву першого роду.

Теорема Коші. Якщо функції f(x) і (x) неперервні на відрізку [a;b] і диференційовані в інтервалі (a;b), причому в усіх точках інтервалу, то існує принаймні одна точка c(a;b) така , що

.

Зазначимо, що теорема Лагранжа випливає з теореми Коші при (х)=х , а теорема Ролля випливає з теореми Лагранжа, при накладанні додаткової умови f(a)=f(b). Отже, теорема Коші є найзагальнішою.

3. Нехай функції f(x) і (x) визначенні в інтервалі (a;b), скінченному чи нескінченному. Розкрити невизначеність означає знайти границю , за умови, що , і для всіх , або знайти границю , за умови, що , і для всіх .

Зауважимо, що позначення зовсім не означає, що ми ділимо на нуль, це символічне позначення факту відношення нескінченно малих функцій. Аналогічний смисл мають і позначення , тощо.

У багатьох випадках допомагає розкривати такі невизначеності правило Лопіталя.

Теорема 1. Нехай функції f(x) і (x) диференційовні в інтервалі (a;b).

Якщо: 1) ; 2) для всіх ; 3)існує границя , скінченна чи нескінченна, то = .

Якщо: 1) ; 2) для всіх ; 3)існує границя , скінченна чи нескінченна, то = .

Теорему дано для односторонніх границь, однак вона правильна і для границь.

Наслідок. Нехай функції f(x) і (x) диференційовні в інтервалах (x₀-;x₀) i (x₀;x₀+), де >0.

Якщо: 1) ; 2) для всіх x(x₀-;x₀) i (x₀;x₀+); 3)існує границя , скінченна чи нескінченна, то = .

Теорему та наслідок називають першим правилом Лопіталя.

Приклад.

Знайти границю функції .

Розв’язання.

Тут виконані всі умови наслідку з теореми 1. За правилом Лопіталя маємо

.

Для знаходження границі виразу, що стоїть в правій частині, ще раз застосуємо правило Лопіталя:

.

Отже, =1/6.

Теорема 2. Нехай функції f(x) і (x) диференційовані в інтервалі (a;b).

Якщо: 1) ; 2) для всіх ; 3)існує границя , скінченна чи нескінченна, то = .

Якщо: 1) ; 2) для всіх ; 3)існує границя , скінченна чи нескінченна, то = .

Теорему дано для односторонніх границь, однак вона правильна і для границь.

Наслідок. Нехай функції f(x) і (x) диференційовні в інтервалах (x₀-;x₀) i (x₀;x₀+), де >0.

Якщо: 1) ; 2) для всіх x(x₀-;x₀) i (x₀;x₀+); 3)існує границя , скінченна чи нескінченна, то = .

Теорему та наслідок називають другим правилом Лопіталя.

Невизначеності типу розкриваємо за допомогою перетворення їх до вигляду , після чого застосовуємо перше правило Лопіталя.

Невизначеність виду розкриваємо зводячи її до вигляду за допомогою перетворення: .

Невизначеності видів зводяться до невизначеності виду за допомогою перетворення

.