Уравнение Шредингера.

Основной характеристикой состояния атомов, молекул, элементарных частиц является -функция. Аналитическое выражение -функции в каждом конкретном случае можно получить путем решения волнового уравнения – основного урав­нения квантовой механики, предложенного Э. Шредингерам

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера имеет вид:

или

где т – масса частицы; Е и U – ее полная и потенциальная энергии, где  оператор Лапласа

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например, вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шрёдингера упрощается и принимает вид:

Гармонический осциллятор в квантовой механике – квантовый осциллятор – опи­сывается уравнением Шредингера, учитывающим выражение для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

где — собственная частота колебаний осциллятора, т — масса частицы.

ЛАЗЕРЫ

Название лазера образовано по первым буквам английского названия (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) что переводится как усиления света с помощью вынужденного излучения. Лазеры генерируют свет в оптическом диапазоне. Аналогичные приборы для сантиметрового диапазона радиоволн были названы МАЗЕРАМИ (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Первыми были придуманы мазеры советскими учёными Басовым и Прохоровым, а затем — лазеры американским учёным Таунсом. В 1964 г все они были удостоены за это открытие Нобелевской премии.

Излучение лазера обладает рядом замечательных свойств: острая направленность пучка, большая мощность, высокая монохроматичность и когерентность. Фокусируя пучок излучения лазера с помощью линз, можно создавать в малых объёмах огромную концентрацию энергии, способную испарять металл, производить микросварку, выжигать в алмазах тонкие отверстия. В медицине лазерный луч используется при проведении сложных тонких операций. Делаются попытки использовать мощное лазерное излучение для решения проблемы осуществления управляемой термоядерной реакции, для чего нужны очень высокие температуры и давления.. Большое применение имеют лазеры в геодезии и строительстве. С их помощью производится измерение расстояний, нивелирование, задание определённого направления и т.д. Дальномер с газовым лазером позволяет измерять расстояния до 20 км с точностью 10^-5 %.).

Закон Больцмана. Для понимания работы лазеров вспомним, что энергия атома, молекулы и даже кристалла может принимать лишь дискретный ряд значений W₁, W₂, ... . Значение энергии, которой может обладать атом, называют энергетическим уровнем, а набор "дозволенных" значений энергий называется энергетическим спектром. Большинство атомов какого-либо вещества в обычных условиях (при комнатной температуре) находится в невозбуждённом состоянии, т.е. на самом низком энергетическом уровне, но вследствие энергии теплового движения некоторые из них переходят на более высокие уровни. Для распределения классических частиц по уровням энергии при термодинамическом равновесии справедлив закон Больцмана. Его можно использовать для атомов, молекул, и электронов в атоме:

(4)

где k — постоянная Больцмана; T — абсолютная температура; C — некоторая константа; N_i — число атомов, обладающих энергией W_i, которое называется населённостью данного уровня. Из уравнения (4) видно, что населённости энергетических уровней уменьшаются с возрастанием энергии. Поэтому в равновесном состоянии вещества нижние уровни всегда заселены больше верхних уровней, и самым заселённым является нижний уровень, соответствующий невозбуждённому состоянию атома. Остановимся на процессе поглощения и излучения света, которое происходит в соответствии с законом

h = W_m – W_n. (5)

Пусть атом находится в невозбужденном состоянии, совершая при этом хаотическое тепловое движение. При его столкновении с другим атомом или при поглощении фотона он переходит в возбужденное состояние. Но возбуждённое состояние является неустойчивым и через время порядка 10^–8 с (его называют временем жизни) атом перейдёт в состояние с меньшей энергией. При этом происходит излучение фотона с частотой в соответствии с соотношением (5). Такие переходы называются поглощением и спонтанным (самопроизвольным) излучением. Спонтанное излучение случайно по времени и предсказать момент перехода невозможно. Случайность спонтанных переходов приводит к тому, что различные атомы излучают не одновременно и независимо. Поэтому фазы электромагнитных волн, излучаемых различными атомами, не согласованы друг с другом. Случайный характер носит и направление распространения излучаемого фотона, а также его плоскость поляризации (плоскость колебания вектора электрической напряжённости). В результате этого суммарное спонтанное излучение вещества является некогерентным. Излучение всех обычных источников света (ламп накаливания, газоразрядных ламп и т.д.) возникает за счёт актов спонтанного испускания, поэтому оно некогерентное.

2. Вынужденное излучение. Изучая принцип детального равновесия между веществом и испускаемым и поглощаемым им излучением, Эйнштейн открыл в 1916 г вынужденное излучение. Если на атом, находящийся в возбуждённом состоянии с энергией W_m, падает излучение частоты , определяемой соотношением (5), то под действием этого излучения атом переходит на уровень W_n. Такой процесс схематически изображён на рис. 1. Переход и излучение такого типа называются вынужденными. Это, в отличие от спонтанного (случайного) перехода, — уже управляемый процесс. Вынужденное излучение обладает весьма важными свойствами, которые и определили возможность создания лазера. Направление распространения, частота, фаза и плоскость поляризации вынужденного излучения полностью совпадают с падающим излучением, его вызывающим. При этом интенсивность вынужденного излучения пропорциональна интенсивности падающего света. Причем вынужденное и внешнее излучения являются когерентными.

Вынужденное

излучение

W_m

W_n

Накачка

l_u=694,3 нм

W₃

W₂

W₁

Рис. 1 Рис.2

3. Инверсное состояние атомной системы. Число переходов между двумя энергетическими уровнями пропорционально населённости исходного уровня. Так как населённости нижних уровней больше населённости верхних, то в системе атомов, находящейся в термодинамическом равновесии, поглощение падающей световой волны будет преобладать над излучением. Поэтому падающий свет при прохождении через вещество ослабляется. Для увеличения интенсивности света, прошедшего через вещество, надо каким-либо способом сделать так, чтобы в состоянии с большей энергией W_m находилось больше атомов, чем в состоянии с меньшей энергией W_n. В этом случае говорят, что данная совокупность атомов имеет инверсную населённость. Впервые на возможность получения сред с инверсной населённостью, в которых свет способен усиливаться, указал в 1940 г советский физик Фабрикант. Теоретические выводы были подкреплены экспериментом. Авторское свидетельство легло в основу квантовой электроники (квантовые усилители, лазеры)

Существует несколько способов создания инверсии населённостей. Рассмотрим один из них, называемый оптической накачкой. Идею оптической накачки проще всего рассмотреть на примере рубина, представляющего собой окись алюминия (Al₂О₃), в которой некоторые из ионов алюминия Al³⁺ замещены ионами хрома Cr³⁺. Среди энергетических уровней иона хрома рассмотрим три: W₁, W₂, W₃ (рис.2), один из них — с энергией W₂ — обладает важной особенностью: в этом состоянии ион существует достаточно долго (~10^–3 с). Такое состояние называют метастабильным. В других же возбуждённых состояниях, например в состоянии с энергией W₃, он живёт 10^–8 с. Таким образом, время жизни иона в состоянии W₂ в 10⁵ раз больше, чем в W₃. Для получения инверсной населённости необходимым условием является наличие у атома или молекулы промежуточного метастабильного уровня.

Типы лазеров

. Рубиновый лазер. Лазер состоит из трёх основных компонент: рабочего тела, устройства накачки и резонатора. Основные компоненты лазера и принцип его работы рассмотрим на примере рубинового лазера. Рубиновый цилиндрический стержень Р (рабочее тело) на короткое время освещается мощной ксеноновой лампой Л (устройство накачки) (рис. 1), вследствие чего ионы хрома переходят с уровня W₁ на W₃, а затем возникает инверсное состояние. В какой-то момент один из ионов хрома спонтанно перейдёт из состояния с энергией W₂ в основное состояние. Вследствие этого появляется фотон, который, столкнувшись с другим возбуждённым ионом хрома, приводит к появлению второго, дополнительного фотона с той же частотой и фазой, что и у падающего фотона. Оба фотона в дальнейшем сталкиваются с другими возбуждёнными ионами, стимулируя дальнейшее вынужденное излучение. Процесс продолжается, и число фотонов лавинообразно нарастает. При попадании фотонов на зеркала З, расположенные на концах рубинового стержня (рис. 3), большинство из них отражается и, двигаясь в обратном направлении, они продолжают стимулировать испускание ионами Cr³⁺ новых фотонов. Небольшая доля фотонов, летящих то в одну, то в другую сторону между зеркалами, выходит через полупрозрачное зеркало на одном из концов трубки. Именно эти фотоны и образуют узкий когерентный пучок излучения лазера.

Л

Р

З

З

Зеркало

Зеркало

Трубка

Рис. 1 Рис. 2

Часть фотонов испускается внутри трубки не параллельно её оси. Такие фотоны покидают прибор через боковую поверхность трубки и не дают вклада в основной пучок. Следовательно, вклад в излучение лазера дают только фотоны, летящие вдоль оси цилиндра рубина, поэтому лазерный пучок бывает очень узким и параллельным, что не приводит к рассеиванию энергии в пространстве, как в случае обычных источников света. Лазеры на рубине работают в импульсном режиме и дают несколько вспышек в минуту. На практике чаще используются лазеры непрерывного действия, рабочим веществом которых являются чаще всего газы.

. Газовый лазер. Принцип работы газового лазера такой же, как и рубинового лазера. Прежде всего, нужны атомы или ионы, в которых имеется метастабильный уровень энергии. Энергия в этом случае подводится за счёт электрического тока, пропускаемого через газ, который светится и даёт необходимые для работы лазера фотоны света.

Схематическое устройство газового лазера приведено на рис. 2. Рабочим веществом в этих лазерах являются такие газы, как углекислый газ, неон, аргон и т.д., поскольку молекулы этих газов имеют энергетические уровни, для которых легко достижима инверсная населённость. В качестве накачки используется электрический газовый разряд. Один из широко распространённых лазеров ¾ гелий-неоновый лазер, в котором используется газовая смесь из 15% гелия и 85% неона. Неон имеет метастабильный уровень энергии, с помощью которого и достигается инверсное состояние. Гелий играет вспомогательную роль в процессе возбуждения. С помощью параллельных диэлектрических зеркал, отражающих в газоразрядную трубку до 99% излучения, осуществляется генерация света.