2. Задачи повышенного уровня сложности

1. Вычислить криволинейные интегралы.

8.29. , взятый вдоль окружности против хода часовой стрелки.

8.30. , взятый вдоль отрезка биссектрисы второго координатного угла, если абсцисса точки равна 2 и ордината точки равна 2.

2. Найти первообразные функций подынтегральных выражений и вычислить интегралы.

8.31. (путь интегрирования не пересекает прямой ).

8.32. .

3. Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых.

8.33. , где - виток винтовой линии .

8.34. , где - окружность , пробегаемая в направлении возрастания параметра.

8.35. , где - дуга окружности , расположенная по ту сторону от плоскости , где .

4. Формула Грина.

8.36. Вычислить двумя способами интеграл ,где - окружность : 1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина.

8.37. Вычислить , где : 1) эллипс ; 2) окружность . Интегрирование ведется в положительном направлении. (Вычисление провести двумя способами:1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина.)

5. Вычислить работу силы.

8.38. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от плоскости и направлена к началу координат. Вычислить работу силы при движении материальной точки по прямой от точки до точки .

8.39. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси , перпендикулярна этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки под действием этой силы по окружности от точки до точки .

8.40. Доказать, что работа силы тяготения двух точечных масс, совершаемая при перемещении одной из них, не зависит от формы пути. Величина силы тяготения задается законом Ньютона , где - расстояние между точками, и - массы, сосредоточенные в этих точках, - гравитационная постоянная.