Семинар 8

Криволинейные интегралы второго рода. Вычисление криволинейных интегралов от выражений, являющихся полными дифференциалами. Поиск первообразных функций подынтегральных выражений и вычисление интегралов. Вычисление криволинейных интегралов, взятых вдоль пространственных кривых. Формула Грина. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов второго рода.

Вводная информация

1. Определение криволинейного интеграла второго рода.

Пусть в каждой точке гладкой кривой , лежащей в плоскости , задана непрерывная функция двух переменных . Разобьем данную кривую на частей точками . Пусть - проекция на ось дуги . Возьмем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму . Составленная сумма называется -ой интегральной суммой второго рода для функции по координате . Обозначим через наибольшую из длин дуг . Если при существует предел интегральных сумм (не зависящий от способа разбиения кривой на части и выбора точек ), то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции по координате и обозначается

.

Если функция непрерывна, то рассматриваемый криволинейный интеграл второго рода существует. Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода по координате , который обозначается

,

где - также непрерывная функция.

Сумма криволинейных интегралов и называется полным криволинейным интегралом второго рода и обозначается

.

Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Отметим свойство криволинейного интеграла второго рода, которое отлично от свойства криволинейный интеграл первого рода,

.

2. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой или конуру.

Если граничные точки кривой совпадают, т.е. , то такая кривая называется замкнутой или контуром, а интеграл - интегралом по контуру, который часто обозначается выражением

.

Плоский контур разбивает плоскость на две области: внутреннюю область (область, ограниченную контуром) и внешнюю область. Направление обхода контура считается положительным, если внутренняя область при обходе остается слева. Пусть - область, ограниченная контуром . Разобьем эту область на две части и так, что . Отметим справедливость следующего свойства контурного интеграла

,

где и - конуры, ограничивающие области , и имеющие то же направление, что и контур .

Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвязной области (области без «дырок», ограниченной контуром , тогда имеет место формула Грина

,

которая устанавливает связь между контурным интегралом и двойным интегралом, распространенным на область, ограниченную контуром.

3. Вычисление криволинейных интегралов второго рода.

Пусть кривая задана в явном виде непрерывно дифференцируемой функцией . Тогда

.

Аналогично, если кривая задана непрерывно дифференцируемой функцией , тогда

.

Пусть кривая задается параметрическими функциями , тогда криволинейный интеграл второго рода приводится к определенному интегралу вида

.