Задачи повышенного уровня сложности
Вычислить тройные интегралы.
5.51.
.
5.52.
.
5.53.
Вычислить
,
где
- общая часть параболоида
и шара
.
5.54.
Переходя к цилиндрическим координатам,
вычислить тройной интеграл
,
в котором область
ограничена
сферой
,
конусом
и содержит точку (0, 0, R).
5.55.
Переходя к цилиндрическим координатам,
вычислить тройной интеграл
.
5.56.
Переходя к цилиндрическим координатам,
вычислить тройной интеграл
.
5.57.
Переходя к сферическим координатам,
вычислить тройной интеграл
.
5.58.
Вычислить тройной интеграл
,
где
- область, ограниченная поверхностями
.
5.59.
Вычислить тройной интеграл
,
где
- область, ограниченная поверхностями
.
2. Вычисление объема тела.
5.60. Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями
.
5.61.
Вычислить объем части цилиндра
,
содержащейся между параболоидом
и плоскостью
.
5.62.
Вычислить объем тела, ограниченного
сферой
и параболоидом
(внутреннего по отношению к параболоиду,
выбрать цилиндрические координаты).
5.63.
Вычислить объем тела, ограниченного
плоскостью
,
цилиндром
и сферой
(внутреннего по отношению к цилиндру)
5.64.
Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями
,
.
3. Вычисление массы тела.
5.65.
Вычислить массу тела, ограниченного
плоскостями
,
если плотность тела равна
.
5.66.
Вычислить массу тела, ограниченного
поверхностью конуса
и плоскостью
,
если плотность тела равна
.
5.67.
Вычислить массу тела, ограниченного
параболоидом
и сферой
,
если плотность тела в каждой точке
пропорциональна сумме квадратов
координат.
4. Вычисление координат центра тяжести тела.
5.68.
Вычислить координаты центра тяжести
однородного тела, ограниченного
поверхностями
.
5.69
. Вычислить координаты центра тяжести
однородного тела, ограниченного
поверхностями
.
5.70.
Вычислить координаты центра тяжести
однородного тела, ограниченного
поверхностями
.
5.71.
Вычислить координаты центра тяжести
однородного тела, ограниченного
поверхностями
.
5. Вычисление моментов инерции тела.
5.72. Вычислить моменты инерции однородного полого шара (внешний радиус равен , а внутренний - ), относительно: а) диаметра, б) центра.
5.73. Вычислить моменты инерции однородного параболоида вращения (радиус основания , высота ) относительно: а) оси вращения, б) оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно оси вращения (экваториальный момент), в) центра его масс.
5.74.
Вычислить момент инерции относительно
начала координат однородного тела,
ограниченного конусом
и сферой
.
6. Разные задачи.
5.75.
Найти ньютоновский потенциал поля
тяготения однородного шара радиуса
с плотностью
в точке, находящейся на расстоянии
от центра шара (
>
).
5.76. Дан
однородный шар радиуса
с плотностью
.
Вычислить силу, с которой он притягивает
материальную точку массы
,
находящуюся на расстоянии
от центра шара (
>
).
Показать, что сила взаимодействия
такова, как если бы вся масса шара была
сосредоточена в его центре.
5.77. Доказать, что ньютонова сила взаимодействия между двумя однородными шарами такова, как если бы массы шаров были сосредоточены в их центрах.
7.78. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентрическими сферами (шаровой слой). Доказать, что сила притяжения этим слоем точки, находящейся во внутренней полости тела, равна нулю.
7.79. Дан однородный цилиндр плотности с высотой и радиусом основания . Вычислить силу притяжения этим цилиндром материальной точки массы , находящейся в центре основания цилиндра.
7.80. Вычислить силу притяжения однородным конусом ( - радиус его основания, а - его высота) материальной частицы с массой , находящейся в вершине конуса.
7.81. Вычислить
кинетическую энергию шара, плотность
которого пропорциональна расстоянию
до центра шара. Шар вращается с угловой
скоростью
относительно своего диаметра.