1. Задачи удовлетворительного уровня сложности.

1. Расставить пределы интегрирования в тройных интегралах.

5.1. - куб, ограниченный плоскостями .

5.2. - тетраэдр, ограниченный плоскостями .

5.3. - цилиндр, ограниченный поверхностями .

5.4. - объем, ограниченный координатными плоскостями, сферой и расположенный в первом октанте.

5.5. - объем, ограниченный плоскостью и параболоидом .

5.6. - конус, ограниченный поверхностями .

5.7. - объем, ограниченный поверхностями .

2. Вычислить тройные интегралы.

5.8. .

5.9. .

5.10. , где - куб, ограниченный плоскостями .

5.11. , где - область, ограниченная плоскостями .

5.12. , где - параллелепипед, ограниченный плоскостями .

5.13. , где - область, ограниченная плоскостями .

5.14. , где - цилиндр, ограниченный поверхностями .

5.15. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить тройной интеграл , где - объем, ограниченный плоскостью и параболоидом .

5.16. , где - объем, ограниченный координатными плоскостями, сферой и расположенный в первом октанте.

5.17. Вычислить тройной интеграл , где - область, ограниченная поверхностью .

3. Вычисление объема тела.

5.18. Найти объем параллелепипеда со сторонами и .

5.19. Вычислить объем прямого кругового цилиндра, радиус которого равен , а высота - .

5.20. Вычислить объем призмы, заданной плоскостями .

5.21. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями . 5.22. Найти объем усеченного цилиндра, ограниченного поверхностями .

5.23. Вычислить объем прямого кругового конуса с радиусом основания и высотой .

5.24. Вычислить объем прямого усеченного конуса высоты с радиусами оснований и .

5.25. Вычислить объем шара радиуса .

5.26. Вычислить объем шарового сегмента. Радиус шара , высота сегмента .

5.27. Вычислить объем эллипсоида .

5.28. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами и и плоскостями и .

5.29. Вычислить объем тела, ограниченного сферой

и конусом (внешнего по отношению к конусу, выбрать сферические координаты).

5.30. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом и плоскостью .

4. Вычисление массы тела.

5.31. Найти массу прямоугольного параллелепипеда , если его плотность задана функцией .

5.32. Найти массу шара радиуса , если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра шара.

5.33. Найти массу тела, ограниченного поверхностями и , если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

5.34. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями, радиусы которых и . Зная, что плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от центра сфер и на расстоянии рана , найти массу тела.

5.35. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круговым цилиндром радиуса и высоты , если его плотность в любой точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра основания.

5. Вычисление координат центра тяжести тела.

5.36. Вычислить координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного плоскостями .

5.37. Найти координаты центра тяжести призматического тела, ограниченного плоскостями .

5.38. Вычислить координаты центра тяжести верхней половины шара радиуса с центром в начале координат при условии, что его плотность постоянна и равна .

5.39. Вычислить координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного плоскостями .

5.40. Вычислить координаты центра тяжести части однородного шара радиуса с центром в начале координат, расположенной в первом октанте.

5.41. В теле, имеющем форму полушара , плотность изменяется пропорционально расстоянию точки от центра. Найти центр тяжести этого тела.

5.42. Вычислить координаты центра тяжести части однородного эллипсоида , расположенной в первом октанте.

6. Вычисление моментов инерции тела.

5.43. Вычислить моменты инерции однородного куба относительно: а) ребра куба, б) прямой, проходящей через центры противоположных граней, в) вершины куба, г) центра куба.

5.44. Вычислить моменты инерции однородного кругового цилиндра радиуса оснований и длиной относительно: а) образующей, б) оси цилиндра, в) оси, являющейся диаметром основания цилиндра, г) точки, находящейся на середине оси цилиндра.

5.45. Вычислить момент инерции цилиндра, длина которого равна , а радиус оснований - , относительно оси цилиндра. Плотность цилиндра увеличивается линейно от на одном конце до на другом.

5.46. Вычислить моменты инерции однородного шара относительно: а) диаметра, б) центра, в) касательной к поверхности шара, г) точки, находящейся на поверхности шара.

5.47. Вычислить момент инерции шара относительно его центра, если плотность шара пропорциональна кубу расстояния от центра шара.

5.48. Вычислить моменты инерции шара относительно координатных осей и центра шара, если его плотность в сферической системе координат равна .

5.49 . Вычислить моменты инерции однородного усеченного конуса, относительно его оси и диаметра основания. Высота конуса равна , а радиусы оснований - и .

5.50. Вычислить моменты инерции однородного эллипсоида относительно его осей и центра.