Семинар 5

Тройные интегралы

Вводная информация

1. Определение. Определение тройного интеграла аналогично определению двойного интеграла. Тройным интегралом от функции по области называется предел, к которому стремится -я интегральная сумма , где - объем частичной области , входящей в разбиение области и , при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

Обозначение тройного интеграла: или . Для тройного интеграла справедливы те же свойства двойного интеграла: линейность, аддитивность, оценка интеграла, теорема о среднем.

2. Вычисление тройного интеграла. Пусть функция определена и непрерывна в пространственной области , которая ограничена сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , где функции и определены и непрерывны в области . Тогда вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению определенного интеграла по переменной и двойного интеграла по области , т.е.

.

Если же область задается системой неравенств

(или же системой неравенств ), то тройной интеграл представим повторным интегралом вида

(аналогично ).

3. Замена переменных в тройном интеграле.

Рассмотрим тройной интеграл в декартовых координатах . Предположим, что переменные , и являются функциями трех других переменных и , т.е. , и . Пусть эти функции удовлетворяют условиям: 1) они непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по и в некоторой замкнутой области ; 2) они взаимно однозначно отображают область на область . Тогда справедливо равенство

, где - якобиан перехода от декартовых координат , и к криволинейным координатам и . Выражение является элементом объема в области .

Замечание: выбор тех или иных криволинейных координат при вычислении тройных интегралов диктуется простотой задания области интегрирования в этих координатах, что, как правило, приводит к более удобному вычислению интеграла.

1. Цилиндрическая система координат.

Цилиндрические координаты представляют собой обобщение полярных координат на плоскости и связаны с декартовыми координатами формулами

.

Переход к тройному интегралу в цилиндрической системе координат осуществляется по формуле

,

т.е. - элемент объема в цилиндрической системе координат.

2. Сферическая система координат.

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами формулами

.

Формула перехода к сферическим координатам имеет вид

.

Элемент объема в сферической системе координат дается выражением .

3. Обобщенные сферические координаты.

Обобщенные сферические координаты связаны с декартовыми координатами формулами

.

Элемент объема в обобщенной сферической системе координат дается выражением .

4. Приложения тройного интеграла.

1. Вычисление объема тела.

Объем тела находится по формуле

.

2. Вычисление массы тела.

Масса тела с плотностью вычисляется по формуле

.

3. Координаты центра тяжести тела.

Координаты центра тяжести тела с массой определяются формулами

,

где - статический момент тела относительно координатной плоскости , - статический момент тела относительно координатной плоскости и - статический момент тела относительно координатной плоскости .

Замечание. Для однородного тела эти формулы значительно упрощаются

, , ,

где - объем тела.

4. Моменты инерции тела.

Моменты инерции тела относительно координатных осей , и находятся соответственно по формулам

, ,

.

Полярный момент инерции тела дается формулой

.

Очевидно, что . Справедлива формула Штейнера , где - момент инерции относительно прямой , проходящей через центр тяжести тела, - масса тела, - момент инерции тела, относительно прямой , параллельной прямой и находящейся от нее на расстоянии .

ЗАДАЧИ