2.2. Законы сохранения импульса, момента импульса, энергии.
Совокупность материальных точек или тел, выделенных для рассмотрения, называют механической системой. Силы взаимодействия между телами системы называют внутренними; силы, с которыми на тела системы действуют внешние тела, называют внешними. Если на механическую систему тел внешние силы не действуют, то такую систему называют замкнутой или изолированной. В замкнутой системе оказываются неизменными три физические величины: импульс, момент импульса, энергия. В соответствии с этим имеют место три закона сохранения: закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса, закон сохранения энергии.
2.2.1. Закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса.
Второй закон Ньютона для поступательного движения записывается как
,
(2.1)
где
- векторная сумма сил, действующих на
материальную точку,
- скорость изменения импульса материальной
точки.
Для системы из nматериальных точек уравнение (2.1) можно записать в виде
,
где
- импульс всей системы.
Перепишем это уравнение в виде
,
(2.2)
где
- равнодействующие внутренних и внешних
сил, действующих на систему.
Согласно третьего закона Ньютона, геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, следовательно, уравнение (2.2) примет вид
,
(2.3)
т.е. скорость изменения импульса системы тел равна сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Если система замкнута, сумма внешних сил равна нулю и уравнение (2.3) запишется как
,
или
const. (2.4)
Это равенство выражает закон сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.
Второй закон Ньютона для вращательного движения имеет вид
,
(2.5)
где
- векторная сумма моментов сил, действующих
на тело,
- скорость изменения момента импульса
тела.
Для системы из nтел можно записать
,
(2.6)
где
- момент импульса всей системы.
Уравнение (2.6) запишем в виде
,
(2.7)
где
и
- векторные суммы моментов внутренних
и внешних сил системы.
Так как геометрическая сумма моментов внутренних сил равна нулю, то
.
(2.8)
Из (2.8) следует, что скорость изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему.
Если система замкнута, то
, или
const.
(2.9)
Уравнение (2.9) выражает закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы остается постоянным.
2.2.2. Закон сохранения энергии.
Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы
A12 = Eк2 - Eк1.
Если на частицу диссипативные силы не действуют, то эта работа равна убыли ее потенциальной энергии
A12 = Eп1 - Eп2.
Следовательно,
Eк2- Eк1 = Eп1- Eп2
или
Eк1+ Eп1 = Eк2 + Eп2= const. (2.10)
Уравнение (2.10) справедливо не только для простейшей системы, состоящей из одной частицы, но и для системы, состоящей из nтел, и выражает закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.
Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют неконсервативные силы (например, силы трения), то полная механическая энергия не сохраняется. Работа неконсервативных сил равна изменению полной механической энергии.