Лекція 2 Математичне моделювання виробничих об'єктів і процесів

Моделювання виробничого процесу складається в імітації виконання на елементах виробництва (устаткуванні, ділянках) операцій над продуктами (напівфабрикатами, заготівлями, сировиною й т.д.) шляхом зміни значень відповідних параметрів, що обчислюють, елементів або продуктів. Значення деяких параметрів можуть бути функціями часу. Елементи виробництва характеризуються, крім того, станами (зайнятий, справний і т.д.). Передача продукту від одного елемента до іншого моделюється передачею інформації про його параметри й зміну станів елементів.

Розробка математичних моделей

Складання математичного опису складається у встановленні зв'язків між параметрами процесу й виявленні його граничних і початкових умов, а також у формалізації процесу у вигляді системи математичних співвідношень, що характеризують досліджуваний об'єкт (технологічний процес). Математичний опис складається на основі матеріальних й енергетичних балансів, а також фізичних законів, що визначають перехідні, або які-небудь інші специфічні особливості процесу.

Для побудови математичних моделей технічних об'єктів використаються фундаментальні закони фізики: збереження маси, енергії й т.д. Відповідно моделі записуються у вигляді звичайних диференціальних рівнянь, що відбивають матеріальний і тепловий баланси апаратів, зміни струму й напруги електричного ланцюга й т.д. У систему математичного опису в загальному випадку можуть входити: алгебраїчні рівняння, звичайні диференціальні рівняння й у частинних похідних, емпіричні формули, логічні умови й ін.

При моделюванні складних технологічних систем можливі наступні випадки.

1. Система, що модельована досить добре вивчена, що дозволяє записати аналітичні співвідношення, які й будуть служити моделлю (закони Кірхгофа, рівняння кінетики, рівняння енергетичного й матеріального балансів і т.п.). Передбачається, що всі коефіцієнти аналітичних співвідношень відомі.

2. Математична модель відома з точністю до невідомих параметрів, для обчислення яких проводиться необхідне число експериментів.

3. Відомо, що моделлю може служити одна з функцій . Необхідно провести експеримент для дискримінації моделей і визначити невідомі параметри адекватної моделі.

4. Аналітичний вид моделі не відомий взагалі.

У трьох останніх випадках ефективними є статистичні методи моделювання, що представляють собою сукупність методів багатомірної статистики й імітаційного моделювання. Методи багатомірної статистики (методи регресійного, дисперсійного, ковариаційного, факторного, компонентного й іншого аналізів) базуються на спостереженні за функціонуванням системи, що модульована та обробці результатів спостережень. При цьому поряд з пасивним спостереженням за системою іноді є можливість проводити планування вхідних збурювань системи. Тоді ефективне застосування методів й ідей математичної теорії планування експерименту.

Перевірку адекватності (відповідності) математичної моделі досліджуваному процесу необхідно проводити з тієї причини, що будь-яка модель є лише наближеним відбиттям реального процесу внаслідок допущень, завжди прийнятих при складанні математичної моделі. На цьому етапі встановлюються, наскільки прийняті допущення правомірні, і тим самим визначається, чи застосовна отримана модель для дослідження процесу. При необхідності математична модель коректується. Для цього використаються результати вимірів на самому об'єкті або на його фізичній моделі, що відтворює в невеликих масштабах основні фізичні закономірності об'єкта моделювання. Оскільки метод математичного моделювання дозволяє розчленовувати складні процеси на більше прості складові, те перераховані задачі можуть вирішуватися кілька разів (на окремих етапах).

Розглянуті етапи є підготовчими, що створюють умови для успішного використання математичної моделі. Від якості підготовки моделі залежить якість одержуваних результатів, які заздалегідь пророчити важко. Однак іноді можна заздалегідь визначити, що саме математичне моделювання для рішення даної задачі найбільше прийнятно. Це можливо в тих випадках, коли складно підтримувати ті самі робітники режими при кожнім повторенні експерименту на працюючому встаткуванні або протягом усього часу проведення серії експериментів для одержання однієї й тієї ж величини вибірки (і, отже, статистичної значимості результатів експериментування) можуть знадобитися надмірні витрати часу й засобів при експериментуванні з реальними системами неможливе дослідження множини альтернативних варіантів, пов'язаних з аварійними або небезпечними технологічними режимами; є впевненість в успішному створенні моделі досліджуваної системи або операції. Для цього варто заздалегідь мати можливість збору необхідної кількості інформації про елементи й зв'язки в моделируемой системі, що забезпечує вірогідність процесу моделювання є можливість (і необхідність) побічного використання процесу побудови моделей елементів системи для їхнього дослідження; всі інші методи рішення непридатні.

У порівнянні з фізичним метод математичного моделювання більше універсальний, тому що він:

• дозволяє за допомогою одного пристрою здійснити рішення цілого класу задач, що мають однаковий математичний опис;

• забезпечує простоту переходу від однієї задачі до іншої, введення змінних параметрів, збурювань і різних початкових умов;

• дає можливість моделювати вроздріб (по «елементарним» процесах), що особливо істотно при дослідженнях складних об'єктів хімічної технології;

• використає швидкодіючу обчислювальну техніку, що безупинно вдосконалюється;

• економічні методу фізичного моделювання як по витратах часу, так і за вартістю.

Під системою розуміється сукупність елементів зі зв'язками й метою функціонування . При цьому елемент системи є найменшою, неподільною частиною системи з погляду дослідника, а зв'язку між елементами виступають як обмежники ступеня волі цих елементів.

Виділяють кілька типів систем: прості, малі, більші й складні.

Розходження між ними полягає в кількості елементів і типі зв'язку між ними, а також ресурсної й інформаційної забезпеченості. У простих і більших системах множина зв'язків між елементами мають однотипний характер, у малий і складних - різнотипний, частіше нелінійний характер.

Складна система є найбільш важкою з усіх для вивчення. Це обумовлено наступними причинами:

1. Закон розподілу факторів, що впливають на систему, невідомий, на його одержання потрібно витратити значна кількість часу.

2. Функціонування системи відбувається в умовах невизначеності, що вносить головним чином людський і випадковий фактори.

3. Змінні системи можуть мати кількісно-якісний опис.

Модель складної системи з перерахованими особливостями одержала назву моделі «чорного ящика», у якій вектор вихідних параметрів системи є реакція на керовані й некеровані входи системи

:

де - час.

Метою моделювання є одержання невідомого перетворення .