Лекція 11 Детерміновані та випадкові моделі

Детерміновані й випадкові моделі. По наявності в моделі випадкових елементів, тобто залежно від способу завдання параметрів, вихідної інформації, початкових умов і способу знаходження характеристик системи, математичні моделі можна підрозділити на два більших класи: детерміновані й випадкові (імовірнісні, стохастичні). У детермінованих моделях всі вихідні дані, обмеження й цільова функція (тобто деяке співвідношення, що кількісно характеризує поставлену перед системою ціль) задаються у вигляді конкретних чисел, векторів або числових функцій.

У детермінованих моделях використаються різні класичні методи математики: диференціальні, лінійні різницеві й інтегральні рівняння, оператори для відомості до алгебраїчних моделей й ін. При спільному розгляді цих співвідношень стану системи в заданий момент часу однозначно визначаються через параметри системи, вхідну інформацію й початкові умови.

По ступені математичної абстракції детерміновані моделі можна розділити на складні, що описують всі причинні зв'язки якоїсь реальної системи та дозволяючи точно прогнозувати поводження системи залежно від зміни змінних (або параметрів), і спрощені е,- у які вибирається ряд основних, істотних залежностей; установлюються й математично описуються зв'язки між окремими параметрами, що відповідають причинно-наслідковим закономірностям; інші, несуттєві, зв'язки відкидаються (ідеалізовані моделі).

Між цими двома моделями існує ряд моделей, що відрізняються ступенем деталізації. Перші моделі, будучи найбільш точними й достовірними в чистому виді, через складність не можуть широко застосовуватися в моделюванні промислового виробництва. На практиці найчастіше застосовуються спрощені ідеалізовані моделі. При цьому вважається, що є істотні й несуттєві фактори: істотні враховуються, несуттєві відкидаються. Між прийнятими в моделі факторами й результуючими показниками встановлюється твердий детермінований зв'язок. Широке поширення ідеалізованих моделей викликано їхньою простотою й можливістю логічного обґрунтування.

Будь-якому реальному процесу властиві випадкові флуктуації. Однак вибір детермінованої або імовірнісної математичної моделі залежить від того, чи враховуються випадкові фактори. Виділення детермінованих моделей в окремий клас порозумівається широким їхнім застосуванням і розмаїтістю математичних методів рішення детермінованих задач.

Якщо хоча б один параметр моделі або обмежувальна функція має як свої значення випадковий вектор або випадкова величина, то це випадкова (стохастична) модель. У цьому випадку під однозначністю визначення характеристик процесу, що модульовано розуміється однозначне визначення розподілів ймовірностей для характеристик процесу при заданих розподілах ймовірностей для початкових умов і збурювань.

Стохастичний характер моделі пов'язаний з наявністю в об'єкті й у середовищі різних неконтрольованих, але істотних факторів, які можна моделювати статистично. Стан системи в цьому випадку де — випадковий процес, що моделює наявну невизначеність об'єкта й середовища. Ця невизначеність може бути зв'язана як зі швидкою зміною параметрів об'єкта, так і з перешкодами, що накладаються на вимірювані кочення сигналів на вході й виході об'єкта.

Стохастичний об'єкт і його модель поводяться неоднозначно в однакових ситуаціях, що моделюється випадковим вектором , статистичні властивості якого повинні бути задані. У найпростішому випадку .

Прикладом стохастичного об'єкта є будь-який біологічний організм, що в однакових умовах поводиться по-різному. У цьому випадку описує поводження об'єкта, що строго залежить від зовнішніх умов, а всі відхилення від цього регулярного поводження утворять «випадкову перешкоду» .

Перехід від детермінованої моделі до стохастичної здійснюється таким чином, щоб вона відбивала в собі випадковий характер даних і самої моделі. Спосіб переходу вибирається залежно від відомостей про досліджувану модель: упевненості в правильності й надійності даних і моделі. При цьому можливо, що ці відомості помилкові.

Наприклад, у випадку детермінованого без інерційного об'єкта, коли збурювання й реакція можуть розглядатися як випадкові величини й відповідно, математична модель, що описує об'єкт, дається у вигляді умовного математичного очікування відносно , тобто об'єкт описується рівнянням виду

,

де — умовне математичне очікування відносно — невипадковий закон перетворення.

Так, для підсилювального елемента, на вході якого діє випадкова величина , вихідний сигнал має вигляд

.

У загальному випадку для стохастичних об'єктів оператор є випадковим (наприклад, коефіцієнти лінійного диференціального рівняння, вагові функції й т.д.).

Інформаційні моделі. За допомогою інформаційних (процедурних) моделей моделюються складні пристрої й комплекси типу обчислювальних машин, радіолокаційні станції, системи керування більшими промисловими установками, літальними апаратами й т.д. Функціонування таких систем являє собою ланцюг подій, що відбуваються в дискретні моменти часу й станів, що полягають у зміні, елементів. Дискретне подання простору й часу обумовлює дискретність фазових змінних, котрими є величини, що характеризують стани елементів. Роль елементів і внутрішніх параметрів виконують системи й вихідні параметри деяких підсистем. Так, елементами ЕОМ можна вважати арифметичний пристрій, оперативну пам'ять, пристрої уведення й висновку й т.п. Фазові змінні, що характеризують стани цих елементів, можуть приймати тільки два значення: «зайняте», якщо в цей момент пристрій працює, або «вільно», якщо пристрій перебуває в стані очікування. Прикладами вихідних параметрів служать імовірність обслуговування заявок, що надійшли в систему (повідомлень), середній час простою в черзі на обслуговування, швидкодію пристрою. Для побудови математичних інформаційних моделей широко використають математичну логіку, теорію масового обслуговування, методи теорії автоматичного керування.

При аналізі складних промислових виробництв особливий інтерес представляють інформаційні процедурні моделі, а також моделі режимів і забезпечення безпеки роботи. Інформаційні процедурні моделі визначають зміст, формат і швидкість (або частоту) потоку інформації. Ці моделі охоплюють також контроль і перевірку інформації, облік і звітність по ній, одержання дозволів і подання деяких видів інформації, запобіжного заходу проти втрат інформації в аварійних випадках і порядок роботи з її відновлення при несправностях або поломкам.

Процедурні моделі режимів і забезпечення безпеки роботи описують дії, що змінюють стан комплексу встаткування підприємства, а також сукупність приписань про обмеження, що накладають на хід роботи з міркувань безпеки. До типових режимів ставляться пуск, останов устаткування, зміни навантаження. При розробці цих моделей людина-оператор розглядається як складова частина комплексу встаткування; йому відведені наступні функції: забезпечення уведення даних в ЕОМ; спостереження за вихідними даними за допомогою вимірювальних апаратур й ЕОМ; залучення до роботи резервного встаткування у випадку несправності основного; відшукання й усунення помилок у програмі й неполадок в ЕОМ. Ці функції відведені операторові, тому що він може виконувати їх кращої з більшою економією засобів, чим будь-яка автоматизована система.

Математичні моделі кожної галузі сучасної технології діляться по класах відповідних процесів. Так, по характері матеріальних й енергетичних зв'язків процеси хімічної технології можна розділити на 5 основних класів: 1) гідродинамічні; 2) теплові; 3) дифузійні або массообменні; 4) механічні й 5) хімічні. Кожний із цих класів з урахуванням цільового призначення й умов реалізації у свою чергу ділиться на типові процеси.