Лекція 8 Глибина моделювання та вимоги до моделей

При моделюванні складної системи звичайно використається сукупність декількох моделей із числа всіх різновидів. Будь-яка система або підсистема може бути представлена різними способами, які значно відрізняються друг від друга по складності та деталізації. У більшості випадків у результаті досліджень з'являється кілька різних моделей однієї та тієї ж системи. При цьому залежно від глибини аналізу прості моделі послідовно заміняю усе більше складними.

Для зручності оцінки й порівняння схем моделювання між собою сформулюємо три головних вимоги до математичних моделей.

Точність математичної моделі - її властивість, що відбиває з пень збігу передвіщених з її допомогою значень параметр об'єкта із щирими значеннями цих параметрів. Щирі значення параметрів об'єкта звичайно ототожнюють із експериментами отриманими. Однак погрішності експерименту в багатьох випадках виявляються порівнянними з погрішностями математичній моді а іноді та помітно їх перевищують.

Економічність математичної моделі визначається насамперед витратами машинного часу. Показником економічності математичної моделі може служити також кількість внутрішніх па метрів, використовуваних у ній. Чим більше таких параметрів, більше витрати машинної пам'яті й тим більше зусиль требу е для одержання відомостей про їхні чисельні значення.

Ступінь універсальності, математичної моделі визначаючи її застосовністю до аналізу численної групи однотипних об'єктів, до їхнього аналізу в одному або багатьох режимах функцією моделювання. У противному випадку використання машинних методів ста скрутним.

У найпростішому випадку модель об'єкта може бути представлена у вигляді функціональної залежності між скалярними змінні впливи та реакції у вигляді , де — деяке число.

У більше складному випадку така модель недостатня. Наприклад, у випадку, коли реакція залежить від впливу, що саме є функцією . Тоді реакція є функціоналом, що відображає закон перетворення функції в число , і модель об'єкта може бути представлена у вигляді . Тут — закон перетворення, якому потрібно піддати функцію , щоб одержати змінну .

Більше загальним є випадок, коли й вплив, і реакція об'єкта являють собою функції того самого або різних аргументів. Правило перетворення однієї функції в іншу називають оператором. Оператор являє собою сукупність математичних або логічних операцій, що встановлюють відповідність між двома функціями. У випадку, коли вплив являє собою функцію , а реакція — функцію , модель об'єкта представляється у вигляді рівняння або .

Лекція 9 Символічної, математичної, імітаційної, функціональні, моделі

Залежно від виду оператора можна одержати ту або іншу типову схему моделювання. Як указувалося, у роботі розглянуті математичні моделі* стосовно до безперервних і дискретних технологічних процесів. Останні класифікуються відповідно до тих характеристик технологічного процесу, які обумовлюють застосування того або іншого математичного .апарата при його моделюванні. Розглянемо наступні види моделей: стаціонарні й нестаціонарні; динамічні; лінійному й нелінійні; розподіленому й зосереджені в просторі; безперервні й дискретні в часі; безперервні й дискретні по величині; детерміновані й випадкові; інформаційні.

Стаціонарні й нестаціонарні моделі. Якщо властивості перетворення вхідних сигналів (функцій), тобто структура та властивості оператора , не змінюються згодом, то систему і її модель називають стаціонарною; у противному випадку — нестаціонарної. Реакція стаціонарної системи на будь-який заданий тип збурювання залежить тільки від інтервалу часу між моментом початку дії вхідного збурювання й даним моментом часу, тобто властивість стаціонарності означає, що процес перетворення вхідних сигналів (функцій) інваріантний щодо зрушення вхідних сигналів у часі. Реакція нестаціонарної системи залежить як від поточного часу, так і від моменту додатка вхідного сигналу. У цьому випадку при зрушенні вхідного сигналу в часі (без зміни його форми) вихідні сигнали не тільки зрушуються в часі, але й змінюють свою форму.

К стаціонарним моделям можна звичайно віднести та моделі одномоментні, використовувані в тих випадках, коли моделюється система, для якої необхідно одержати якесь рішення в певний момент часу. Прикладом можуть служити системи керування запасами матеріалів, у яких одномоментні моделі застосовуються повсюдно (визначення однократного об'єму замовлення на поповнення запасів або часу подачі замовлення).

Часткою случаємо стаціонарних моделей є моделі статичні, які включають опис зв'язків між основним змінними процесу в сталих режимах (у равновесному стані без зміни в часі). Наприклад, математичний опис статики хіміко-технологічного процесу складається звичайно із трьох видів рівнянь: матеріального й теплового балансів, термодинамічної рівноваги системи (характеристика рушійної сили) і швидкостей протікання процесів (хімічних реакцій, тепло та массопередачі та ін.). Для розрахунку повільних процесів або процесів, що протікають із невеликими відхиленнями від стабільних умов, приймається допущення, що дозволяє вважати процес сталої. Подібне допущення приймається, наприклад, для розрахунку теплового балансу турбіни при половинній, трехчетвертной або повнім навантаженні або для рішення методами лінійного програмування задачі змішання матеріалів.

Стаціонарні математичні моделі (крім статичних) звичайно складаються з диференціальних рівнянь, статичні моделі - рівнянь алгебраїчних.

Динамічні моделі дозволяють розрахувати стаціонарні або не стаціонарні режими технологічних процесів й інші об'єкти Стандартні динамічні моделі включають змінні й співвідношення між ними:

вектор незалежних змінних ;

додаткові незалежні змінні , називані часи хоча вона може не представляти фізичну тимчасову розмірність

вектор невідомих параметрів ;

вектор змінні стани системи, що є функціями від , і . Ці функції, наприклад, визначаються неявно за допомогою системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

,

де — вектор заданих функцій, і системи початкових умов . Тут — вектор заданих функцій; вектор спостережуваних змінних , точними значеннями яких є задані функції від змінні стани й від інших змінних:

.

Загальновідомий спеціальний випадок — коли змінні стани спостерігаються безпосередньо, тобто .

Стандартні динамічні моделі характеризуються множиною змінні стани системи, які змінюються згодом (або залежно від деякої інший незалежної змінної) відповідно до певних диференціальних рівнянь першого» порядку. Початкові умови можуть бути відомі повністю або частково. Стан системи спостерігається в різні моменти часу, але іноді змінні стани не є безпосередньо вимірюваними, і замість них доводиться вимірювати пов'язані з ними спостережувані змінні. Невідомі параметри можуть з'являтися в початкових умовах, у диференціальних рівняннях й у рівняннях спостережень. В останньому випадку вони представляють невідомі характеристики вимірювальних приладів, наприклад константи калібрування.

Якщо в моделі об'єкта втримуються диференціальні рівняння порядку вище першого, складність їхнього аналізу зростає з ростом порядку рівняння (або з ростом числа диференціальних рівнянь у системі, оскільки рівняння -го порядку можна перетворити в систему з рівнянь 1-го порядку). Інші труднощі, що виникають іноді при аналізі систем диференціальних рівнянь, пов'язана з особливостями завдання початкових умов. Найчастіше початкові умови задаються при тому самому значенні незалежної змінної. Для протікання хімічних реакцій, наприклад, початковими умовами звичайно служать значення концентрацій у той самий момент ; в описах реакторів — це концентрації й температура в одній і тій же крапці — на вході в апарат. Задачі з початковими умовами, заданими таким чином, називаються задачами Коші. Моделювати їх порівняно просто.

Але зустрічаються задачі, у яких різні початкові умови задані в різних крапках. Наприклад, у багатьох апаратах із противотоком частина умов може бути задана з боку входу одного потоку, частина - з боку входу іншого. Це крайові задачі. Якщо крайову задачу не вдається звести до задачі Коші за допомогою додаткових рівнянь (наприклад, рівнянь робочої лінії), то рішення ускладнюється. При цьому потрібно, як правило, застосування спеціальних розрахункових прийомів - ітерації та ін.

Стан системи можна представити як крапку з координатами в деякому просторі вимірів, називаному фазовим простором або простором станів. Ця крапка називається що зображує. Зміні стану системи відповідає деякий рух крапки, що зображує, у цьому просторі. Шлях крапки, що зображує, при цьому є інтегральна крива системи. Ця крива зветься фазової траєкторії.

При побудові фазового простору домагаються взаємно однозначної й безперервної відповідності між станами системи й крапками фазового - простору, тобто кожному стану системи повинна відповідати одна й тільки одна крапка фазового простору, а кожній крапці фазового простору - одне й тільки один стан системи. При цьому близьким станам системи повинні відповідати близькі крапки фазового простору. У силу цих вимог фазовий простір не завжди може бути звичайним евклідовим n-мірним простором при виконанні на ЕОМ. Завдяки швидкодії й простоті лінійні моделі широко застосовуються розроблювачами, хоча більшість природних і промислових процесів - нелінійно. Прикладом нелінійної моделі є залежність між напругою й силі струму в електричному ланцюзі, хоча це справедливо в обмеженому діапазоні струмів і напруг.