1. Задачи удовлетворительного уровня сложности

1. Найти линейную оболочку векторов и пространства (пространство геометрических векторов).

14.1. и . 14.2. и .

14.3. и . 14.4. , и .

2. Найти линейную оболочку векторов арифметического векторного пространства .

14.5. и . 14.6. , и .

3. Найти линейную оболочку векторов – элементов векторного пространства -матриц.

14.7. , и . 14.8. и .

14.9. и . 14.10. , и .

4. Проверить линейную независимость векторов.

14.11. и . 14.12. и .

14.13. , и .

14.14. , и .

14.15. и . 14.16. и .

14.17. , и . 14.18. , и .

14.19. , , и .

14.20. , , и .

5. Найти координаты вектора относительно базиса .

14.21. , .

14.22. , .

14.23. , .

14.24. , .

14.25. , .

14.26. , .

14.27. , .

14.28. , .

6. Найти координаты вектора относительно базиса и матрицу перехода к базису . Определить координаты вектора относительно базиса с помощью формулы преобразования координат. Проверить полученный результат, вычислив сумму .

14.29. , , .

14.30. , , .

7. Решить задачи.

14.31. Пусть оператор поворачивает любой вектор пространства на угол против часовой стрелки и увеличивает его длину в два раза. Найти матрицу оператора относительно базиса . Преобразовать эту матрицу в матрицу оператора относительно базиса, полученного из базиса поворотом его на угол по часовой стрелке. Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Разложить оператор по некоторому базису (на Ваш выбор).

14.32. Пусть оператор задан в пространстве правилом . Найти матрицу оператора относительно базиса и преобразовать ее к базису . Найти собственные значения и собственные векторы оператора . Найти координаты оператор относительно выбранного Вами базиса.

14.33. Вычислить скалярное произведение векторов и ,

если оно определено матрицей .

8. Даны векторы и . Найти длины этих векторов и углы между ними. Используя эти векторы и проведя процедуру их ортогонализации, построить ортонормированный базис.

14.34. , .

14.35. , .

9. Даны векторы , и . Найти длины этих векторов и углы между ними. Используя эти векторы и проведя процедуру их ортогонализации, построить ортонормированный базис.

14.36. , и .

14.37. , и .

2. Задачи повышенного уровня сложности

1. Решить задачи.

14.38. Пусть - произвольный элемент векторного пространства , заданного над полем . Известно, что -нулевой вектор, а - вектор, обратный к вектору ( ). Найти и .

14.39. Пусть и - подпространства пространства . Показать, что пересечение этих подпространств является векторным пространством.

14.40 . Показать, что линейная оболочка векторов пространства , образует векторное пространство – подпространство пространства .

2. Найти координаты вектора относительно базиса и матрицу перехода к базису . Определить координаты вектора относительно базиса с помощью формулы преобразования координат. Проверить полученный результат, вычислив сумму .

14.41. , , .

14.42. , , .

2. Решить задачи.

14.43. Показать, что отношение сравнения в определении факторпространства является отношением эквивалентности.

14.44. - подпространство пространства , - базис пространства такой, что - базис подпространства . Показать, что классы образуют базис факторпространства .

14.45. Подпространство пространства является линейной оболочкой вектора . Построить факторпространство . Разложить некоторый вектор пространства по базису этого пространства.

14.46. Матрица оператора относительно базиса имеет вид . Найти вектор , если . Вычислить матрицу оператора относительно базиса , где . Положив , изобразить векторы и на рисунке.

14.47. Задать вектор , где - сопряженное пространство к пространству . Разложить заданный вектор по базису, сопряженному к базису . Преобразовать полученные координаты линейного функционала к координатам относительно базиса, сопряженного к базису .

14.48. Задать вектор , где - сопряженное пространство к пространству . Разложить заданный вектор по базису, сопряженному к базису . Преобразовать полученные координаты линейного функционала к координатам относительно базиса, сопряженного к базису .

14.49. Задать билинейный функционал на векторном пространстве .

14.50. Тензор задан в системе координат матрицей . Найти матрицу этого тензора в системе координат , где .

14.51. Тензор задан в системе координат координатами (набором чисел) . Используя тензорный закон преобразования, преобразовать эти числа к системе координат , где .