IV. Сопряженное пространство. Билинейные функционалы.

Определение. Сопряженным (или дуальным, или двойственным) векторным пространством к пространству называется векторное пространство линейных отображений (форм, функционалов) таких, что . Сумма векторов в пространстве вводится правилом , а умножение на число определяется следующим образом .

Пусть - некоторый базис пространства , тогда . Следовательно, чтобы определить отображение , достаточно его определить на базисных векторах , т.е. задать чисел . Тогда образом вектора при отображении будет число .

Определение. Сопряженным базисом пространства к базису называют линейно независимых отображений , определенных правилом . Разложение вектора по этому базису имеет вид , где .

При переходе к новому базису базисные векторы и координаты меняются по законам: и . Линейное отображение называют ковектором. Отметим, что значение линейного функционала на векторе не меняется при переходе к новой системе координат .

Рассмотрим два векторных пространства и . Образуем внешнюю прямую сумму этих пространств . Элементами этого множества являются пары , где и . будет векторным пространством, если мы определим на нем бинарную операцию правилом

и операцию умножения на число

.

Определение. Отображение называется билинейным функционалом на , если при фиксированном значении одного аргумента оно является линейным функционалом относительно другого, т.е.

,

.

Замечание. Если векторные поля определены над полем комплексных чисел, то линейность по одному аргументу иногда (например, в квантовой теории) заменяется на полулинейность , и рассматриваются полуторалинейные отображения.

Пусть и - базис , тогда

.

Видим, что для определения билинейного функционала достаточно задать чисел . Тогда .

Замечание. Двойная сумма называется билинейной формой от переменных и . Двойная сумма ( ) носит название квадратичной формы.

При переходе к новому базису пространства коэффициенты билинейного функционала преобразуются по закону

или в матричном виде , где .

V. Скалярное произведение. Евклидово пространство.

Определение. Векторное пространство с заданным на нем билинейным функционалом называется пространством со скалярным умножением. Значение (число) функционала на векторе будем называть скалярным произведением векторов , и обозначать .

Скалярное произведение в общем случае не обладает какой-либо симметрией. Выделим три случая:

1) . Такие скалярные произведения называются симметричными и задаются симметричными матрицами , где . Геометрия пространств с симметричным скалярным произведением называется ортогональной геометрией.

2) . Такие скалярные произведения называются антисимметричными (симплектическими) и задаются антисимметричными матрицами . Геометрия пространств с антисимметричным скалярным произведением называется симплектической геометрией.

3) . Такие скалярные произведения задаются матрицами, удовлетворяющими свойству , в векторных пространствах, определенных над полем комплексных чисел, и называются эрмитово-симметричными. В качестве примера можно привести скалярное произведение волновых функций в квантовой механике .

Определение. Векторное пространство с симметричным скалярным умножением, заданное над полем вещественных чисел , называется евклидовым пространством, если , причем равенство имеет место только в случае нулевого вектора .

Замечание. Квадратичная форма , обладающая отмеченным выше свойством, называется положительно определенной квадратичной формой.

В евклидовом пространстве можно ввести норму (длину) вектора правилом .

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых двух векторов и евклидового пространства справедливо неравенство

.

Следствие (неравенство треугольника). Для любых двух векторов и евклидового пространства справедливо неравенство

.

Справедливость неравенства Коши-Буняковского для евклидовых пространств позволяет ввести для этих пространств понятие угла между векторами с помощью формулы

.

В общем случае два вектора пространства со скалярным умножением называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. В евклидовых пространствах угол между ортогональными векторами равен (т.е. такие векторы перпендикулярны).

Определение. Будем говорить, что элементов -мерного евклидового пространства образует ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если .

Теорема. Во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство этой теоремы заключается в построении такого базиса. Пусть - некоторый базис пространства . Ортонормированным базисом будет базис:

, где ;

, где ;

, где ;

………………………………………..

, где .

Отметим два основных свойства ортонормированных базисов.

Свойство 1. При использовании ортонормированного базиса скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Действительно, .

Свойство 2. Координаты произвольного вектора относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы.

Действительно, .