II. Базис векторного пространства и преобразование координат.

Определение. Векторы называются линейно независимыми, если равенство возможно тогда и только тогда, когда все числа равны нулю. В противном случае векторы называются линейно зависимыми.

Определение. Система линейно независимых векторов в пространстве образует его базис, если существует разложение

,

где - элементы поля , над которым задано векторное пространство . Числа называются координатами вектора относительно базиса .

Теорема. Координаты вектора относительно заданного базиса определяются однозначно.

Отметим, что число базисных векторов определяет размерность векторного пространства.

Рассмотрим два базиса и (штрихованный и не штрихованный) пространства . Разложим один и тот же вектор относительно этих базисов

,

.

(Здесь использовано обозначение Эйнштейна: если в формуле верхний и нижний индекс совпадает, то по этому индексу подразумевается суммирование). Видим, что при переходе к другому базису меняются координаты вектора (но не сам вектор!). Для нахождения формул преобразования координат, разложим векторы штрихованного базиса по не штрихованному базису

,

,

………………………..

.

Определенная таким образом матрица

называется матрицей преобразования базиса к базису ( или матрицей перехода от базиса к базису . Подставим формулу в разложение вектора относительно штрихованного базиса

.

Поскольку координаты вектора относительно базиса определяются однозначно, получаем . Обратим это равенство. С этой целью умножим левую и правую части этого равенства на элементы новой матрицы : . «Свернем» это равенство по индексам и , т.е. приравняем их и возьмем сумму по единому индексу, . Определим новую матрицу равенством , где - символ Кронекера. Тогда или . Следовательно, координаты вектора преобразуются с помощью матрицы , являющейся обратной к матрице

Замечание. Образуем матрицы , ,

и .

Формулы разложения вектора по базисам на матричном языке имеют вид , а формулы преобразований базисов и координат записываются следующим образом .

III. Гомоморфные и изоморфные отображения. Операторы.

Определение. Пусть и - два векторных пространства. Отображение называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом, если оно сохраняет линейные операции, т.е. если выполняется равенство

.

Определение. Взаимно однозначное гомоморфное отображение называется изоморфным отображением или изоморфизмом. Если такое отображение существует, то пространства и называются изоморфными.

Определение. Гомоморфное отображение называется линейным оператором на пространстве .

Множество линейных операторов на пространстве можно превратить в векторное пространство, задав сумму операторов правилом и произведение оператора на число . Каждому оператору можно поставить в соответствие матрицу, если выбрать некоторый базис пространства . Подействуем оператором на каждый базисный вектор и разложим получающиеся векторы по базису

,

,

…………………………

.

Матрица

называется матрицей оператора относительно базиса . При фиксированном базисе пространства любая -матрица определяет оператор на этом пространстве. Действительно,

,

где . Взаимно однозначное соответствие между операторами и их матрицами определяет изоморфизм между векторным пространством операторов и векторным пространством -матриц. Так как изоморфные пространства имеют одинаковую размерность, размерность векторного пространства операторов равна . При выборе другого базиса пространства меняется матрица оператора (сам оператор не меняется, так как является вектором). Правило преобразования матрицы оператора имеет вид .

Определение. Вектор называется собственным вектором оператора , если , где называется собственным значением оператора .

Заметим, что . Равенство можно записать в матричном виде или . Таким образом, задачу поиска собственных значений и собственных векторов оператора можно свести к задаче поиска собственных значений и собственных векторов матрицы оператора (точнее матрицы, транспонированной по отношению к ней). Найдя собственные векторы матрицы , находим собственные векторы оператора по формуле .

Рассмотрим на пространстве невырожденные операторы (операторы, задающиеся невырожденными матрицами). Введем операцию умножения операторов правилом . Относительно этой бинарной операции множество невырожденных операторов на пространстве образует группу. Рассматривая отображение как преобразование векторного пространства , получаем группу преобразований этого пространства. Эта группа называется полной линейной группой преобразований векторного пространства . В зависимости от свойств матриц операторов можно ввести ее подгруппы: ортогональная группа , унимодулярная линейная группа , собственная ортогональная группа , унитарная группа , собственная унитарная группа .