Семинар 14

Определение векторного пространства, подпространства, пересечение и сумма подпространств, линейная оболочка системы векторов, линейная независимость векторов, базис векторного пространства, переход к другому базису и преобразование координат, гомоморфные и изоморфные отображения, операторы, собственные векторы и собственные значения оператора, сопряженное пространство, скалярное произведение векторов, евклидово пространство, ортонормированный базис, понятие тензора.

Вводная информация

I. Определение векторного пространства.

Определение. Пусть имеется множество , на котором введена бинарная операция (отображение ). Пусть также определена операция умножения элементов множества на элементы, принадлежащие полю , , где (т.е. отображение ). Множество называется векторным пространством (или линейным пространством) над полем , если выполняются следующие условия:

1) - абелева группа относительно введенной бинарной операции , единичный элемент этой группы будем обозначать и называть нулевым вектором;

2) и справедливы равенства и

;

3) и имеет место равенство ;

4) выполняется равенство , где .

Элементы векторного пространства называются векторами.

Определение. Пусть некоторое подмножество обладает следующими свойствами: а) если , то и ; б) если , то и . Подмножество , являющееся векторным пространством, называется подпространством пространства . Нулевой вектор пространства и само пространство называют тривиальными подпространствами пространства . Все остальные подпространства пространства называются нетривиальными.

Определение. Пусть и - два подпространства одного и того же векторного пространства . Множество всех векторов , принадлежащих одновременно подпространствам и , называется их пересечением. Множество всех векторов вида , где и , носит название суммы подпространств и . Как пересечение, так и сумма подпространств являются, в свою очередь, векторными пространствами - подпространствами пространства .

Определение. Говорят, что пространство является прямой суммой своих подпространств , если: а) существует разложение ; б) это разложение единственно. В этом случае будем писать .

Определение. Пусть - некоторые векторы пространства . Полное множество векторов вида , где , называется линейной оболочкой системы векторов . Линейная оболочка векторов является векторным пространством (говорят, что векторное пространство «натянуто» на векторы ).

Рассмотрим подпространство векторного пространства . Назовем вектор сравнимым с вектором (точнее, сравнимым относительно ), если , где . Отношение сравнения является отношением эквивалентности и позволяет разбить векторное пространство на взаимно непересекающиеся классы эквивалентности . Здесь - совокупность всех векторов пространства , сравнимых с вектором . Определенное таким образом множество классов эквивалентности обозначим . Введем на множестве бинарную операцию и правило умножение элементов этого множества на числа из поля . Введенные операции превращают множество в векторное пространство.

Определение. Векторное пространство называется факторпространством пространства по подпространству .

Заметим, что если - размерность пространства , а - размерность подпространства , то размерность факторпространства равна .