6. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

6.1. Угол между плоскостями.

Под углом между плоскостями понимается один из двухгранных углов, образованных этими плоскостями. Рассмотрим две плоскости и их нормальные векторы

,

.

Угол между плоскостями можно найти из соотношения

.

Если интересует острый угол, то надо взять .

А) Условие перпендикулярности плоскостей легко получается из предыдущей формулы

.

Б) Условие параллельности плоскостей задается соотношением или

.

6.2. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть имеется точка и плоскость, заданная общим уравнением . Тогда расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле

.

Для плоскости, заданной нормальным уравнением, следует использовать формулу

.

IV. Уравнения прямой в пространстве.

1. Векторное уравнение прямой.

Пусть в пространстве задана точка . Уравнение прямой, проходящей через эту точку в направлении, заданном вектором , имеет вид

,

где - радиус-вектор точки , - параметр . Вектор называется направляющим вектором рассматриваемой прямой.

2. Параметрические уравнения прямой.

Проектируя векторное уравнение прямой, получим параметрические уравнения прямой в пространстве

3. Канонические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой имеют вид

.

4. Уравнения прямой, проходящей через две точки.

Если в пространстве заданы две разные точки и , то уравнения прямой, проходящей через них, можно задать в виде

.

5. Общее уравнение прямой.

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения непараллельных плоскостей

Эти уравнения называются общими уравнениями прямой. В качестве направляющего вектора этой прямой можно взять вектор

.

6. Расположение прямых линий в пространстве.

6.1. Угол между прямыми.

За угол между прямыми принимают угол между направляющими векторами этих прямых и . Следовательно,

.

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

А) Условие перпендикулярности прямых имеет вид: или .

Б) Условие параллельности прямых - .

6.2. Принадлежность прямых одной плоскости.

Рассмотрим две прямые и .

Эти прямые будут принадлежать одной плоскости, если

.

6.3. Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть плоскость задана общим уравнением , а прямая - каноническими уравнениями . Угол между прямой и плоскостью можно найти из формулы

.

А) Условие перпендикулярности плоскости и прямой имеет вид: .

Б) Условие параллельности плоскости и прямой - .

6.4. Пересечение прямой с плоскостью.

Пусть плоскость задана общим уравнением , а прямая – параметрическими уравнениями . Если прямая не принадлежит плоскости ( ), то решением системы из четырех написанных выше уравнений будет значение параметра , равное

.

Подстановка этого значения параметра в параметрические уравнения прямой определяет точку пересечения прямой линии с плоскостью. Условия принадлежности прямой плоскости имеют вид