Семинар 10

Различные виды уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от данной точки до данной плоскости. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между прямой и плоскостью.

Вводная информация

1. Системы координат в пространстве.

1. Декартова система координат .

В декартовой (прямоугольной) системе координат местоположение точки в пространстве задается тремя числами: - абсцисса, - ордината, - аппликата точки. Расстояние между двумя точками и вычисляется по формуле

.

Координаты точки , делящей в заданном отношении отрезок , определяются по формулам

.

В частности, при получаем формулы деления отрезка пополам

.

2. Цилиндрическая система координат .

В цилиндрической системе координат местоположение точки в пространстве задается тремя числами: - расстояние от начала координат до проекции точки на плоскость , - угол между осью и проекцией отрезка на плоскость , - аппликата точки . Формулы, связывающие декартовы и цилиндрические координаты, имеют вид

3. Сферическая система координат .

В сферической системе координат местоположение точки в пространстве задается тремя числами: - расстояние от начала координат до точки , - угол между осью и отрезком , - угол между осью и проекцией отрезка на плоскость . Формулы, связывающие декартовы и сферические координаты, имеют вид

.

II. Уравнения поверхности и линии в пространстве.

Определение. Уравнением поверхности в фиксированной системе координат называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и не удовлетворяют этому уравнению координаты любых точек, не лежащих на этой поверхности. Так, уравнение поверхности в декартовой системе координат имеет вид , где - некоторая функция трех переменных .

Пример 1. - уравнение двумерной сферы радиуса с центром в точке с координатами .

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей. Следовательно, для задания линии следует взять уравнения двух поверхностей

Пример 2. - окружность.

Линию и поверхность в пространстве можно задать и параметрическими уравнениями.

Пример 3. - винтовая линия.

Пример 4. - сфера радиуса .

Здесь параметры, лежащие в пределах .

III. Уравнения плоскости.

1. Общее уравнение плоскости.

Общим уравнением плоскости называется уравнение вида

.

Коэффициенты и определяют вектор нормали к данной плоскости (т.е. они определяют ориентацию плоскости в пространстве). Коэффициент характеризует смещение плоскости в направлении этой нормали. В частности, если , то плоскость проходит через начало координат. Можно выделить частные случаи:

а) - плоскость, параллельная оси ;

б) - плоскость, параллельная оси ;

в) - плоскость, параллельная оси ;

г) - плоскость, параллельная оси и содержащая эту ось;

д) - плоскость, параллельная оси и содержащая эту ось;

е) - плоскость, параллельная оси и содержащая эту ось;

ж) - плоскость, параллельная координатной плоскости и проходящая через точку ;

з) - плоскость, параллельная координатной плоскости и проходящая через точку ;

и) - плоскость, параллельная координатной плоскости и проходящая через точку .

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть заданы точка в пространстве и некоторый вектор . Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть заданы три точки, не лежащие на одной прямой, , , . Уравнение плоскости, проходящей через три эти точки, можно записать в виде

.

4. Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на координатных осях некоторые отрезки, более точно, проходит через точки , , . Тогда ее уравнение имеет вид

.

5. Нормальное уравнение плоскости.

Пусть имеется единичный вектор, заданный через направляющие косинусы , и точка, лежащая на расстоянии от начала координат в направлении вектора . Тогда уравнение плоскости, проходящей через эту точку и имеющей вектор в качестве нормального вектора, дается формулой

.

Это и есть нормальное уравнение плоскости. Очевидно, число равно расстоянию от плоскости до начала координат. Заметим, что общее уравнение плоскости приводится к нормальному уравнению просто его делением на постоянную величину

.

Знак знаменателя выбирается противоположным знаку постоянной .