лекции / Теплопроводность через цилиндрическую стенку

Теплоптоводность ч/з цил-ую стенку.

На границах стенки заданы ГУ 1-го рода.

при r=r₁ , t=t_w1

при r=r₂ , t=t_w2

в этом случае тепловой поток имеет радиальное направление, темпер. поле одномерно. для стационар. одномер. задачи о теплопро-ти цил. стенки дифур-ие (1.5) в цил-й системе коорд-т при λ=const примет

(1.14)

введя новую переменную г=, преобр-ем (1.14)

после раздел-я перем-х и интегр-я получим lnu + lnr = lnC₁ (1.15)

потенцируя получим u*r= C₁

перейдя к первонач переем-м, запишем r= C₁ , а затем разделив получаем

t= C₁lnr+ C₂ (1.16)

искривление линии темпер-го поля в цил-ой стенке обуслов-о изменением плотности тепл-го потока q= при изменении радиуса цилиндра. при увеличении r величина площади F=2πrl, где l – длина стенки, также увел-ся. поэтому на больших r темп-ая линия проходит более полого и наоборот. Это правило сохр-ся и при обратном направ-ии тепл. потока(пунктир на рис.).

Подставив ГУ в (1.16) найдем C₁ и C₂ :

C₁= C₂ = (1.18)

преобр-м 1.16 с учетом 1.18 : (1.19)

где d₁ и d₂ – внутр и наруж диам-ы цилиндра, d – текущ-й диам-р цил-ра.

из (1.19) опред-им темпер-й градиент: = (1.20)

использ (1.20) найдем тепл-й поток ч/з стенку: Q=qF=-λ2πrl= (1.21)

тепловой поток на единицу длины (1.22)

величину назыв внутр термич сопр-ем цил стенки.обозначим плотности тепл. потока на внутр и внеш поверх-ях ч/з и . т.к. Q=l=πl=πl

=π=π (1.23)