Векторные диаграммы

В данной лабораторной работе для определения индуктивности катушки используется переменный электрический ток, значение которого изменяется во времени по гармоническому закону. Гармонические колебания можно представить в виде проекции точки равномерно движущейся по окружности. Представление гармонических колебаний с помощью вращающихся векторов называется векторной диаграммой. Если вектор А вращается с угловой скоростью вокруг центра против часовой стрелки, то проекция конца этого вектора на ось ОХ совершает гармоническое колебание вдоль оси X. Уравнение этого колебания:

.

Вращающийся вектор называется вектором амплитуды. Угол поворота вектора в данный момент времени t численно равен фазе колебания за данный промежуток времени. Если имеется два колебания, которые происходят с одинаковой круговой частотой и с разностью фаз , то их можно изобразить с помощью двух векторов амплитуды и расположенных под углом друг к другу (рис. 2). В этом случае точки и колеблются с разностью фаз . Принято изображать положение векторов амплитуды в начальный момент времени считая, что их вращение происходит против часовой стрелки (рис. 3).

рис. 2	рис. 3

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Если в цепи, содержащей только индуктивность (R=0, C=0), приложено переменное напряжение, то в ней потечет переменный ток , вследствие чего возникнет ЭДС самоиндукции.

.

Закон Ома для такого участка цепи (рис. 4) будет иметь вид:

.

или:

(5)

Между напряжением и током в цепи, содержащей только .индуктивность, возникает разность фаз (сдвиг фаз) равная , т.е. напряжение опережает ток на (или Т / 4).

рис. 4

Очень наглядно полученный результат можно изобразить на векторной диаграмме (рис. 5).

рис. 5

Горизонтальную ось примем за ось токов. Отложим вдоль этого направления вектор тока, численно равный амплитудному значению тока . Так как напряжение опережает ток по фазе на , то вектор повернут относительно оси токов на против часовой стрелки. Из равенства (5) следует, что амплитуда напряжения . Разделив правую и левую части этого выражения на , получим закон Ома для цепи с индуктивностью:

,

где и – эффективные (действующие) значения напряжения и тока.

На практике обычные вольтметры и амперметры в цепи переменного тока показывают не амплитудные (максимальные) значения тока и напряжения, а именно эффективные значения, которые в раз их меньше. Таким образом, из закона Ома мы видим, что величина играет роль сопротивления переменному току и называется индуктивным сопротивлением .

Последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепи переменного тока

Обычно реальная электрическая цепь представляет собой достаточно сложную комбинацию индуктивного, емкостного и омического сопротивлений. Рассмотрим простой случай последовательного соединения индуктивности, емкости и резистора (рис. 6).

рис. 6

Согласно второму закону Кирхгофа, уравнение для мгновенных значений напряжений в такой цепи имеет вид:

(6)

Так как в данном случае общим для всех участков цепи является ток, то целесообразно выбрать его начальную фазу, равную 0. Известно, что напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе с током цепи, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на угол , а напряжение на емкости отстает от тока на угол .

Тогда, выразив напряжение через ток и соответствующие сопротивления участков цепи, получим:

(7)

Амплитудное значение напряжения, приложенного к цепи U_m равно векторной сумме напряжений на всех элементах цепи, то есть

U_m =U_{R m} +U_Lm+ U_Cm.

Сложение этих трёх векторов легко провести на векторной диаграмме. Треугольник ОАВ на векторной диаграмме напряжений (рис. 7) называют треугольником напряжений.

рис 7

В общем виде выражение для мгновенного значения напряжения в цепи в зависимости от значения L или C можно записать так: . С учетом этой записи уравнение (7) принимает вид:

(8)

Полагая в этом уравнении , получаем выражение:

(9)

При , получаем:

,

(10)

где: – называется реактивным сопротивлением цепи.

Возведя равенства (9, 10) каждое в квадрат, а затем, сложив их вместе, получим:

, откуда находим:

,

(11)

Величина называется полным сопротивлением цепи переменному току.

Разделив левую и правую части равенства (11) на , найдем связь между током и напряжением, т.е. закон Ома для цепи с последовательным соединением R, L, С.

.

(12)

Рассмотрим треугольник напряжений на рис 7 и величину напряжения каждой его стороны разделим на ток , тогда получим треугольник сопротивлений (рис. 8а).

Стороны треугольника сопротивлений представляют собой отрезки, т.к. сопротивления не векторные величины. Умножая величины напряжений каждой стороны треугольника сопротивлений на ток , получим треугольник мощностей (рис. 8б).

рис. 8

На рис. 8 изображены треугольник сопротивлений и мощностей для случая, когда . Из треугольника мощностей и сопротивлений легко найти связь между различными параметрами цепи.

В электротехнике большую роль играет - коэффициент мощности цепи, который можно определить как

(13)

где Р - активная мощность цепи, измеряемая в Вт.,

S – полная мощность цепи, измеряемая в ВА.

Реальные конденсаторы и катушки индуктивности обладают активным сопротивлением. Потери энергии в них обусловлены нагреванием обмотки катушки, нагреванием сердечника токами Фуко и работой по его перемагничиванию, а также нагреванием диэлектрика конденсатора в переменном электрическом поле. Обычно для учета потерь каждый из этих элементов представляют состоящим из двух последовательно соединенных элементов – чисто реактивного и чисто активного. Это позволяет пользоваться выражением (13) для расчета мощности в любой цепи переменного тока.