2.5 Прогноз методом експонентного згладжування
Оцінемо ступінь впливу кожної точки вихідного часового ряду на прогнозовану. Очевидно, що в багатьох випадках останні точки передісторії мають значно більший вплив на прогноз, ніж перші, тобто прогноз методом експонентного згладжування враховує ступінь впливу кожної точки вихідного часового ряду на прогнозовану. Сутність методу полягає в згладжуванні часового ряду за допомогою зваженої ковзної середньої, у якій вага спостережень підкоряються експоненціальному закону імовірності.
Застосуємо рекурентну формула Р. Брауна для визначення експонентної середньої р-го порядку:
,
де
- безрозмірний
параметр згладжування, що вибирається
в межах
,
при
цьому він дозволяє керувати впливом
даних часового ряду на прогнозовану
точку (при
=0
на прогноз будуть однаково впливати
всі точки часового ряду, а при
=1
- тільки остання);
;
- порядок
середніх (порядок полінома, що інтерполює).
Характерно, що при
,
експонентні середні
являють собою вихідний часовий ряд
.
Відповідно до цієї моделі кількість розв'язуваних рівнянь залежить від р.
При р=1 маємо модель нульового порядку з одним рекурентним рівнянням вигляду
.
Відповідно до цієї моделі одержимо тренд, початкова точка якого дорівнює середньому значенню передісторії, тобто
,
а прогнозне значення оцінюється величиною
.
Таким чином, останнє значення, обчислене за рекурентною моделлю нульового порядку, чисельно дорівнює прогнозу на наступний дискретний момент часу.
Точність прогнозу оцінемо за фактичною контрольною точкою часового ряду, яка порівнюється з прогнозованою
% .
Для заданого часового ряду дамо прогноз по семи точкам передісторії на восьму й оцінимо точність прогнозу:
Таблиця 4
t, доба |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Р, мг/с |
65 |
80 |
255 |
330 |
270 |
100 |
60 |
165 |
Задаємося параметром згладжування ( ) або обчислимо його за формулою
Обчислимо початкове значення експоненціальної середньої
.
Обчислимо послідовно експонентні середні з першої по сьому:
=
;
;
;
;
;
;
.
Прогнозоване значення тимчасового ряду в восьмій точці дорівнює сьомій експоненціальній середній
Точність прогнозу:
.
Так як точність прогнозу складає 5,3%, то можна стверджувати про достовірність даних розрахунків.
Висновок: Використовуючи метод експонентного згладження величини інтенсивності викиду СО в атмосферу промисловим підприємством, можна дати прогноз на восьму добу. Величина інтенсивності викиду пилу на восьму добу дорівнює сьомій експоненціальній середній і становитиме Р(8) = 156,3 мг/с з точністю 5,3 %.
2.6 Прогноз викидів со на 8, 9, 10-ту добу.
Прогноз на восьму, девяту і десяту добу можна дати за допомогою стандартної програми на ЕОМ, представивши розрахунковий часовий ряд у вигляді лінійного тренду. За результатами математичних обчислень в програмі PROGN.EXE(програма для розрахунку прогнозу по вихідним даним у вигляді моделей різного виду) отримуємо слідуючи значення:
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Число точек ряда динамики n= 7
Глубина прогноза np= 3
Статистика Стьюдента T= 31.60000038146973
Уровни ряда динамики
.8500000238418579
1.200000047683716
2.299999952316284
3.099999904632568
2.400000095367432
1.399999976158142
.800000011920929
ПРОГНОЗ ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ
Y(t) = a + b * t, t=n+1,n+2,...,n+np.
a= 1.671428680419922 b= 1.250001136213541E-002 t= 8 ... 10
t= 8 Y( 8 )= 1.771428823471069
t= 9 Y( 9 )= 1.783928751945496
t= 10 Y( 10 )= 1.796428799629211
Основание весовой функции 1.00000011920929
Стандартная ошибка прогноза 3.344373464584351
Доверительный полуинтервал 105.6822027566427
Р(8) = 171,43 мг/с, Р(9) = 172,86 мг/с і Р(10) = 174,29 мг/с.
Висновок: представивши розрахунковий часовий ряд у вигляді лінійного тренду, отримуємо прогноз на восьму, дев`яту і десяту добу:
Р(8) = 171,43 мг/с, Р(9) = 172,86 мг/с і Р(10) = 174,29 мг/с.