Приложение а (рекомендуемое) теорема эрроу

При построении моделей и выборе метода обобщения индивидуальных ранговых оценок в групповую оценку полезно знать о хорошо известной в математическом моделировании теореме Эрроу – теореме об агрегировании индивидуальных предпочтений.

Она была сформулирована американским экономистом Кеннетом Джозефом Эрроу, удостоенном в 1972 году Нобелевской премии по экономике.

Ее суть сводится к тому, что не существует общего правила обобщения индивидуальных предпочтений, которое одновременно удовлетворяло бы следующим требованиям:

а) полнота - оно должно охватывать всевозможные индивидуальные предпочтения;

б) непротиворечивость - должны соблюдаться рефлексивность и транзитивность предпочтений;

Свойство рефлексивности означает, что если объект а лучше объекта b, то объект b хуже объекта a (будем обозначать a > b  b < a).

Свойство транзитивности означает, что a > b, b > c  a > c).

в) принцип Парето - положительная связь общественных и индивидуальных предпочтений; общественные предпочтения должны зависеть от индивидуальных (если для всех индивидуумов a > b, то и для групповой оценки должно быть a > b, и если одна из альтернатив поднимается в шкалах индивидуальных предпочтений, она не должна опуститься и в шкале групповых предпочтений);

г) независимость от внешних альтернатив (добавление еще одной альтернативы не должно изменить предпочтения по поводу остальных);

д) отсутствие диктата – групповые предпочтения не должны быть полностью идентичны предпочтениям одного лица (диктатора);

е) симметричность относительно индивидуумов – не имеет значения, в каком порядке рассматриваются индивидуальные предпочтения.

Иными словами, если от индивидуальных оценок естественно ожидать внутренней непротиворечивости, то при их обобщении в групповую оценку, при попытке их совместить, невозможно придумать такое правило, которое, с одной стороны, подходило бы к любым разнообразным расхождениям интересов, а с другой, было бы вполне справедливым.

Поскольку то правило обобщения оценок, о котором идет речь, принято называть функцией общественной полезности, или функцией общественного благосостояния, и теорема Эрроу доказывает невозможность ее построения, эту теорему иногда называют теоремой о невозможности демократии.

Теорема Эрроу имеет строгое математическое доказательство [8].

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих нарушение сформулированных требований некоторыми существующими правилами агрегирования.

Наиболее известный пример – парадокс Кондорсе (или парадокс нетранзитивности) – был впервые отмечен маркизом де Кондорсе еще в 18 в.

Предположим, что комиссия из тридцати человек (экспертов) выбирает председателя, на место которого претендуют три человека: г-н N, г-н P и г-н R. При этом десять человек считают, что N > P > R (г-н N лучше, чем г-н P, а тот, в свою очередь, лучше, чем г-н R). Другие десять человек считают, что P > R > N, а для оставшихся десяти человек R > N > P. Пусть экспертам предложено путем голосования сравнить альтернативы попарно. При сравнении N и P за то, что N > P подано 20 голосов (из первого и третьего десятков) против десяти. При сравнении P и R за то, что P > R также подано 20 голосов против 10 (это голоса первых двадцати экспертов против десяти оставшихся). Если N > P и P > R, должно быть N > R (чтобы соблюдалась транзитивность, непротиворечивость предпочтений). Таким образом, кандидатура г-на R признается худшей из трех, а место председателя получает г-н N. Тем не менее, если бы можно было провести еще один тур голосования и сравнить R и N, то оказалось бы, что R > N, снова большинством в 20 голосов против десяти (это голоса второго и третьего десятков экспертов против первых десяти).

Таким образом, перед рабочей группой открывается простор для манипулирования мнениями экспертов. Если она стремится избежать сравнения альтернатив R и N, занизив роль альтернативы R, то следует сначала сравнить P и R, а затем, отбросив R, как худшую, сравнить P и N. При этом N займет первое место, как и получилось.

Рассмотрим другой пример. Предположим, индивидууму предложили сравнить между собой работу на двух управленческих должностях – А и Б, и он считает, что работа А подходит ему больше, чем Б. При этом существует еще некоторая должность В. Понятно, что независимо от того, как он относится к этой должности (считает ее лучше всех, хуже всех, или лучше одной из других должностей, но хуже другой), все равно должность А он считает более предпочтительной по сравнению с Б (третий вариант к этим должностям никакого отношения не имеет). К сожалению, для групповой ранговой оценки (т.е. для мнения коллектива) это не всегда так.

Пример зависимости от внешних альтернатив приведем для обобщения ранговых оценок по сумме рангов. Пусть три эксперта вначале сравнивают две альтернативы – А и Б. Их индивидуальные и групповая оценки представлены в таблице А.1.

Таблица А.1 – Ранговая оценка двух альтернатив

Альтернативы Эксперты	А	Б
1	1	2
2	1	2
3	2	1
Сумма рангов	4	5
Ранг	1	2

Итак, групповая оценка означает, что А лучше Б.

Вводится третья альтернатива В. Для первого эксперта она хуже остальных двух, для второго новая альтернатива представляется, напротив, самой лучшей, а третьему альтернатива В кажется хуже Б, но лучше А. Свои предпочтения по поводу альтернатив А и Б они не изменили. Построим аналогичную таблицу (таблица А.2):

Таблица А.1 – Ранговая оценка двух альтернатив

Альтернативы Эксперты	А	Б	В
1	1	2	3
2	2	3	1
3	3	1	2
Сумма рангов	6	6	6

Как ни странно, но с появлением третьей альтернативы предыдущие две (А и Б) стали равноценными (6 = 6).

Построение достаточно логичного правила обобщения индивидуальных предпочтений становится возможным, если снять какое-то из требований теоремы Эрроу. Этим требованием не обязательно должно быть требование отсутствия диктата (т.е. демократия не является невозможной). Обычно отказываются от требования полноты, так как в большинстве практических ситуаций неразумно предполагать наличие всех логически возможных комбинаций индивидуальных предпочтений. Кроме того, если мнения в обществе полностью рассогласованы (как это имеет место в парадоксе Кондорсе), не только математическая, но и обыденная логика подсказывает, что получить приемлемое групповое суждение не удастся.