1.3 Постановка задачи для итерационно-разностного метода
Двумерную задачу о равновесной форме капиллярной поверхности сформулируем в следующем виде:
,
(4-5)
1.4 Замена переменных
Особенность параметрической постановки в том, что длинна l равновесной линии, т.е. область определения задачи неизвестна. Это создает существенную трудность для численного решения. Для преодоления этой проблемы используется процедура обезразмеривания типа преобразования Ландау. Это позволяет вынести неизвестную l в уравнения и проводить вычисления на фиксированном промежутке [0,1].
Выберем l в качестве характерного размера и введем новые безразмерные переменные:
(6)
Тогда наша задача сформулированная для метода секущих запишется в виде:
(7)
(8)
(9)
где
число
Бонда, характеризующее отношение
гравитационных сил к силам поверхностного
натяжения.
Для отображения результатов будем
использовать более естественную замену,
при которой единичным становится объем
жидкости, а не длинна линии меридиана.
Поэтому имеем:
.
2 Итерационно-разностный метод
2.1 Аналитическое решение при Bo=0
Чтобы
получить начальное приближение для
нашего метода решения поставленной
задачи, необходимо получить аналитическое
решение когда капля находится в
невесомости т.е. вектор свободного
падения
и как следствие этого число Бонда Bo
= 0.
При
Bo = 0 линия меридиана будет
представлять собой часть окружности
отсеченную хордой. Заметим, что
угол
смачивания.
Уравнение окружности в параметрическом виде имеет вид:
(10)
где
радиус
окружности,
расстояние
от центра окружности до оси OR.
Рисунок 3 – Окружность
Установим
связь между углом
и длинной дуги окружности
.
(11)
(12)
Подставляя в параметрическое уравнение окружности получим:
(13)
При том, что
,а также, зная объем капли в невесомости,
получаем параметрическое уравнение
окружности в следующем виде:
где
(14)
Теперь
переходим к безразмерным величинам
используя соотношения
.
(15)
2.2 Итерационно-разностный метод. Вычислительный алгоритм
Сформулируем систему уравнений, которую будем решать итерационно-разностным методом.
,
(16)
.
.
(17)
Тождество
является
естественным условием параметрических
функций
Аналогичным образом, как и в методе секущих, вычисляем начальное приближение для нашего алгоритма и все необходимые параметры для итерационного процесса.
Выберем на интервале [0;1] равномерную сетку:
(18)
Также обозначим:
(19)
На равномерной сетке для нашей задачи построим разностную схему второго порядка аппроксимации, обозначая разностное решение теми же буквами, что и точное решение:
(20)
(21)
где
(22)
Для решения нелинейной разностной задачи (37) рассмотрим двухслойную итерационную схему:
(23)
(24)
Где
n=0,1,2,… - номер итерации;
- параметр релаксации;
.
Эти
две системы решаются методом прогонки,
так как они представляют собой системы
линейных алгебраических уравнений с
трехдиагональной матрицей. В результате
этого определяются новые итерационные
приближения
,
с помощью которых затем вычисляются
.
Как и в методе секущих, интеграл, необходимый для получения решения, находим методом трапеций. После получения решения также делаем пересчет точек решения для приведения его к размерному виду. Условие проверки окончания итераций такое же, как и в методе секущих.
Запишем алгоритм решения:
По точному аналитическому решению вычисляем первоначальное приближение первой итерации
а также
Вычисляем
затем
.Проверяем сходимость итераций
.
Если сходятся то переходим к пункту 4.
Если расходятся то найдено число
и останавливаем вычисление.Проверяем условия окончания итераций
Методом дихотомии находим следующее предположительное значение числа Бонда критического и переходим к пункту 2.