6 Пример. Тепловой объект периодического действия

Цель – поддерживать температуру в объекте

t₀

m, c, t

Qп

N

Рисунок 4.6. Расчётная схема модели управления тепловым объектом периодического действия.

N – мощность ТЭНа, Вт;

t, t₀ – температура вещества, окружающей среды, К;

Qп – потери тепла в окружающую среду, Вт.

При моделировании приняты следующие допущения:

- объект с сосредоточенными параметрами;

- теплофизические характеристики объекта постоянны в рассматриваемом диапазоне температур;

- потерями тепла в окружающую среду пренебрегаем.

Математическая модель записывается на основе уравнения теплового баланса:

, (4.11)

где ∆t = t - t₀.

.

7 Пример. Тепловой объект непрерывного действия Цель: нагрев банок в теплообменнике

При моделировании приняты следующие допущения:

- объект с сосредоточенными параметрами;

- теплофизические характеристики объекта постоянны в рассматриваемом диапазоне температур;

- расход теплоносителя и воды постоянен, G_П1 = G_П2 = G_П, G_В1 = G_В2 = G_В;

- температура воды в ёмкости равна температуре воды в трубе слива, t_В2 = t_В;

- потерями тепла в окружающую среду через стенки и дно ёмкости пренебрегаем.

G_И

m_б, n_б, t_б1, c_б

t_б

G_в2, t_в

G_в1,m_в, с_в, t_в1, α_в

G_п1, t_п, с_Т, α_п

r, m_т

G_п2

Рисунок 4.7. Расчётная схема модели управления тепловым объектом

непрерывного действия.

Математическая модель записывается на основе системы уравнений теплового баланса для следующих тепловых емкостей:

- для банок с продуктом:

, (4.12)

- для теплоносителя:

, (4.13)

если весь пар выводится с конденсатом, то уравнение (4.13) примет вид:

, (4.14)

- для воды:

, (4.15)

где ,

m_б, m_T, m_в – масса банки, теплообменника, воды в емкости, кг;

с_б, с_T, с_в – теплоёмкость банки, теплообменника, воды в емкости, Дж/кг∙К;

t_б1, t_б, t_T, t_СТ, t_в1, t_в – температуры: банки на входе и выходе, теплообменника, стенки теплообменника, воды на входе и выходе из емкости, К;

F_б, F_TН, F_ТВН – площадь банки, наружной и внутренней стенки теплообменника, м²;

α_в, α_п – коэффициент теплоотдачи воды и пара, Вт/м²∙К;

G_в1, G_в2, G_и – массовый расход: воды на входе и выходе, испарение воды, кг/с.

Раздел 4. Основные положения теории подобия

В настоящее время теория подобия достаточно хорошо разработана и широко применяется в различных отраслях науки и техники.

В частности, в задачах тепло– и массообмена применение теории подобия даёт возможность моделировать сложные процессы, зависящие от множества факторов. Реальный объект представляет собой многомерную задачу. Аналитические решения подобных процессов тепло- массообмена получены только для одномерных случаев (форма тела объекта описывается как шар, неограниченный цилиндр или пластина).

Для исследования некоторых сложных явлений теория размерности является единственно возможным аналитическим методом моделирования. При этом функциональную зависимость между размерными величинами сформулировать как соотношение между безразмерными величинами.

При аналитическом моделировании используют свойство изоморфности дифференциальных уравнений, которое отражает единство законов природы и позволяет описывать различные по своей физической природе процессы с применением однотипных дифференциальных уравнений.

Существует аналогия между процессами, различными по своей природе – электрическими, гидродинамическими, тепловыми и массообменными.

Перенос электричества (з. Ома):

;

Перенос количества энергии (з. Ньютона):

;

Перенос вещества (з. Фика):

;

Перенос теплоты (з. Фурье):

,

где dU/dx, dv/dx, dc/dx, dt/dx – градиенты соответственно напряжения, скорости, концентрации и температуры; i – сила тока; R – сопротивление; τ – касательное напряжение; μ – динамический коэффициент вязкости; m – массовый поток; D – коэффициент диффузии; q – тепловой поток; λ – коэффициент теплопроводности.

Виды подобия:

1. Геометрическое подобие выражается в виде отношения линейных параметров модели l₁ к линейным параметрам объекта l:

,

где k_{l –} масштабный коэффициент геометрического преобразования, являющийся постоянной величиной для сравниваемых объектов.

Пример – географические карты, различающиеся только масштабом.

2. Временное подобие выражается в постоянстве отношений интервалов времени завершения k_τ аналогичных стадий процесса (нагрев одинакового количества воды в двух аппаратах за время τ₁ и τ соответственно). Временное подобие процессов называется гомохронностью.

.

В частном случае при k_τ =1 процессы протекают синхронно.

3. Физическое подобие реализуется при соблюдении временного и геометрического подобия. В данном случае говорят о подобии полей физических величин – это совокупность мгновенных локальных значений данной физической величины во всём рабочем объёме, в котором протекает процесс.

, , ,

где Т₁, Т¹₁ – значение температуры в первом сравниваемом процессе; Т₂, Т¹₂ – то же во втором процессе; k_T – масштабный коэффициент температуры, имеющий постоянное значение для сравниваемых процессов.

Подобие граничных условий соблюдается, если отношение всех значений величин, характеризующих эти условия, для фиксированных точек в определённые моменты времени сохраняется постоянным.

Подобие начальных условий означает, что в начальный момент времени для процессов соблюдается подобие полей физических величин, характеризующих процесс.

Если начальные и граничные условия (условия однозначности) различных процессов одного класса подобны, то процессы также подобны и могут быть описаны одинаковыми дифференциальными уравнениями, а условия однозначности различаются масштабом.

Для двух подобных процессов запишем функциональные зависимости между параметрами процесса:

Для первого процесса – f₁(T₁, P₁, t₁, m₁,…)=0;

Для второго процесса – f₂(T₂, P₂, t₂, m₂,…)=0 или f₃(k∙T₂, k∙P₂, k∙t₂, k∙m₂,…)=0.

Два первых уравнения описывают подобные процессы одинаковыми уравнениями. Третье уравнение описывает те же процессы, но отличается масштабным коэффициентом k. Для соблюдения подобия необходимо, чтобы при умножении переменных на масштабный коэффициент не изменялось уравнение.

В каждом подобном процессе комплексы переменных могут изменяться в пространстве и времени, но в любых фиксированных точках рабочего объёма в сходственные моменты времени эти комплексы принимают одно и то же значение.

Такие безразмерные комплексы, характеризующиеся постоянством для ряда явлений, называются критериями подобия или числами подобия этих явлений.

Алгоритм получения критериев подобия из дифференциального уравнения следующий:

1. составляется дифференциальное уравнение процесса;

2. дифференциальное уравнение приводится к безразмерному виду делением обеих частей уравнения на правую или левую часть или делением отдельных слагаемых на один из членов с учётом его физического смысла;

3. вычёркиваются символы дифференцирования, а символы степеней дифференциалов сохраняются.

Кроме критериев подобия, получаемых из дифференциальных уравнений, применяются параметрические критерии, представляющие собой отношение двух одноимённых величин.

Рассмотрим пример. Выпишем одномерные уравнения, описывающие теплообмен жидкости со средой (4.1) и граничные условия (4.2), моделирующие процесс конвективной теплопередачи через пограничный слой:

(4.1)

, (4.2)

где а – коэффициент температуропроводности, м²/с;

α – коэффициент теплоотдачи через пограничный слой, Вт/м²∙К;

λ – коэффициент теплопроводности для пограничного слоя, Вт/м∙К;

t_Ж, t_С – температура жидкости и стенки, К.

Для любой сходной модели уравнения записываются аналогично системе (4.1-4.2):

(4.3)

. (4.4)

Введём масштабные коэффициенты:

, , , , , .

Любой параметр модели можно выразить через параметр натуры с учётом коэффициента масштаба:

, и т.д.

Подставляя в систему уравнений (4.3-4.4), получим:

(4.5)

. (4.6)

Поскольку подобные процессы в подобных системах описывают её одинаковым уравнением, то уравнение (4.1) соответствует (4.5), (4.2) подобно (4.6). Приравниваем соответствующие уравнения, производим сокращения и получаем условия, при которых соблюдается подобие модели и натуры:

(4.7)

. (4.8)

Из уравнения (4.8) следует:

или - критерий Нуссельта.

Критерий Нуссельта характеризует конвективный теплообмен на границе двух сред. Из уравнения (4.7) следует:

или - критерий Пекле.

Критерий Пекле характеризует конвективный теплообмен в движущейся среде; представляет собой произведение критериев Рейнольдса и Прандтля RePr.

Первая теорема подобия: при подобных процессах равны все критерии подобия.

Вторая теорема подобия (теорема Федермана - Бэкингема): эксперимен-тальные результаты должны быть формализованы в виде функциональной зависимости между критериями – критериальным уравнением, которое описывает весь класс подобных процессов. Данное обстоятельство используется при физическом моделировании.

Третья теорема (теорема М.В. Кирпичёва, А.А. Гухмана): критериальные уравнения применимы только для подобных процессов.

Таким образом, основными этапами моделирования процессов с использованием методов теории подобия являются:

- получение математического описания процесса на основе классического дифференциального уравнения, которое дополняются начальными и граничными условиями, характеризующие масштаб протекания процесса;

- преобразования этих дифференциальных уравнений в критериальное уравнение по выше приведённому алгоритму;

- конкретный вид критериального уравнения определяется экспериментальным путём.