19. Формула Остроградського – Гаусса. Формула Стокса.

Формула Остроградського – Гаусса встановлює зв’язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею.

Якщо функції неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку в замкненої області G простору, яка обмежена замкненою гладкою поверхнею σ, то справедлива формула Остроградського – Гаусса:

(2.14)

Зауваження 1. На практиці формулу Остроградського – Гаусса можна застосовувати для обчислення об’ємів тіл, якщо відома поверхня, яка обмежує це тіло.

Зауваження 2. Якщо σ – замкнена кусково – гладка поверхня, одиничний вектор зовнішньої нормалі якої тоді потік П вектора через поверхню σ можна обчислити за формулою Остроградського – Гаусса:

(2.15)

Зауваження 3. Також мають місце формули:

(2.16)

Формула Стокса встановлює зв’язок між поверхневим і криволінійним інтегралами.

Якщо функції неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку на поверхні σ і L – замкнений контур, який обмежує цю поверхню, то справедлива формула Стокса:

(2.17)

де cos α, cos 𝛽, cos γ – напрямні косинуси нормалі до поверхні σ; напрям нормалі обирається так, щоб із сторони нормалі обхід контуру L відбувався проти годинникової стрілки.

Формулу Стокса можна записати в наступному вигляді:

(2.18)

2. Обчислення подвійного інтеграла у декартових координатах.

Теорема 2. Нехай функція неперервна в області D, обмеженій лініями , причому функції і неперервні на відрізку [a; b] і для довільного . Тоді має місце формула

(7)

Формула (7) показує, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів. Інтеграл справа у формулі (7) називається повторним, причому інтеграл по змінній y називається внутрішнім, а по змінній x - зовнішнім.

Аналітичне доведення формули (7) дещо громіздке, тому наведемо тут міркування, що випливають з фізичного змісту подвійного інтеграла. Будемо вважати, що функція невід’ємна в області D і є поверхневою густиною пластинки D.

В иділимо смугу області D між вертикалями x і (рис. 3). маса цієї смуги (вона заштрихована на рис.7.3), очевидно, дорівнює . Тоді маса всієї пластинки D буде дорівнювати , звідки за фізичним змістом подвійного інтеграла і випливає формула (7).