3.2 Простые и сложные деформации, использование принципа суперпозиции.

Деформация бруса называется простой, если в его поперечных сечениях возникает только один из вышеперечисленных внутренних силовых факторов. Здесь и далее силовым фактором будем называть любую силу или момент.

Лемма. Если брус прямой, то любая внешняя нагрузка (сложная нагрузка) может быть разложена на составляющие (простые нагрузки), каждая из которых вызывает одну простую деформацию (один внутренний силовой фактор в любом сечении бруса).

Читателю предлагается самостоятельно доказать лемму для любого частного случая нагружения бруса (подсказка: в ряде случаев требуется вводить фиктивные самоуравновешенные нагрузки).

Существуют четыре простые деформации прямого бруса:

- чистое растяжение – сжатие ( N ≠ 0, Q_y= Q_z= M_x= M_y= M_z=0 );

- чистый сдвиг ( Q_y или Q_z ≠ 0, N = M_x= M_y= M_z= 0 );

- чистое кручение ( M_x ≠ 0, N = Q_y= Q_z= M_y= M_z= 0 );

- чистый изгиб ( M_y или M_z ≠ 0, N = Q_y= Q_z= M_x = 0 ).

На основании леммы и принципа суперпозиции задачи сопротивления материалов можно решать в следующей последовательности:

- в соответствии с леммой сложную нагрузку разложить на простые составляющие;

- решить полученные задачи о простых деформациях бруса;

- просуммировать найденные результаты (с учётом векторного характера параметров напряженно-деформированного состояния). В соответствии с принципом суперпозиции это будет искомое решение задачи.

3. Статическая неопределимость задачи сопротивления материалов.

Рассмотрим поперечное сечение бруса (рис. 3.2).

Рис. 3.2 Иллюстрация к записи выражений (3.1)

На малой площадке этого сечения dA действуют нормальные σ_x и касательные τ_xy и τ_xz напряжения.

Учитывая, что главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении статически эквивалентны системе напряжений в нём, запишем их компоненты относительно главных центральных осей OX, OY и OZ., проинтегрировав элементарные силы и моменты, создаваемые напряжениями на площадке dA:

N_x = σ_xdA ; Q_y = τ_xydA ; Q_z = τ_xzdA ;

(3.1)

M_x = (zτ_xy- yτ_xz )dA ; M_y = zσ_xdA ; M_z = yσ_xdA.

Подынтегральные функции в правой части выражений (3.1)

σ_x = σ_x(x₀,y,z); τ_xy = τ_xz(x₀,y,z); τ_xz = τ_xz(x₀,y,z), (3.2)

где x₀ абсцисса сечения ,не могут быть однозначно определены по заданному внутреннему силовому фактору слева. То есть уравнений равновесия статики (2.1), (2.2), (3.1) недостаточно для нахождения законов распределения внутренних сил в поперечном сечении бруса. Этот факт носит название статическая неопределимость задачи сопротивления материалов.

Следовательно, для определения напряжений и деформаций ( раскрытия статической неопределимости ) необходимо составить дополнительные уравнения рассмотрев кроме статической стороны задачи другие её стороны:

-перемещения и деформации в рамках ограничений, которые на них накладывает гипотеза плоских сечений;

-связь напряжений с деформациями, обусловленную законом Гука.