Лекция 2

Определение внутренних сил методом сечений. Интенсивность внутренних сил, механические напряжения, основы теории напряженного состояния.

Цель: Ознакомить курсантов с методом сечений и основами теории напряженно-деформированного состояния.

Рекомендованная литература: [ 1 стр.20-25, 2 стр. 9-19, 3 стр.42-48, 4 стр.14-23]

2.1 Определение внутренних сил методом сечений

Внешние силы, действуя на деформируемые тела, наводят в них поля внутренних сил упругости, которые являются надбавками к существующим в ненагруженном состоянии межмолекулярным силам.

Главный вектор R₀ и главный момент M₀ внутренних сил могут быть найдены методами механики твёрдого тела для любого сечения, делящего это тело на две части (рис 2.1).

Рис.2.1 Главный вектор R₀ и главный момент M₀ внутренних сил в сечении A, точка приведения O. Главный вектор ΔR сил действующих на площадке ΔA, включающей точку С и его нормальная ΔN и касательная ΔT составляющие.

Для этого достаточно выбрать в рассматриваемом сечении точку приведения О и подсчитать геометрическую сумму всех сил приложенных по одну сторону от сечения. Получим главный вектор R₀:

(2.1)

Аналогично, суммируя моменты внешних сил по одну сторону сечения, находим главный момент M₀:

(2.2)

В формулах (2.1) и (2.2) равенства справа выражают факт равновесия рассматриваемого тела под действием K сил с одной стороны от сечения и N сил с другой, т.е. главные моменты и векторы сил, приложенные к каждой из частей, попарно равны и противоположно направлены. Описанная процедура определения внутренних сил носит название метод сечений. Главные вектор и момент внутренних сил в системе СИ единиц физических величин измеряются соответственно в ньютонах (Н) и ньютон метрах (Нм). Сама по себе величина внутреннего силового фактора несёт ограниченную информацию. Например, главный вектор 1Н не существенен для буксирного каната, но окажет «катастрофическое» воздействие на механизм наручных часов. Кроме того, главный вектор и главный момент являются интегральными характеристиками внутренних усилий и ни чего не говорят об их распределении по сечению.

2.2 Интенсивность внутренних сил. Механические напряжения.

Для определения интенсивности внутренних сил в окрестности точки С рассмотрим малую площадку Δ А, её включающую (рис. 2.1). На площадку

Δ А придется некоторая часть этих сил с главным вектором ΔR . Главный момент ΔM будет величиной высшего порядка малости по сравнению с ΔR (точнее ΔR*α, где α порядка размеров площадки в плане) и им обычно пренебрегают (исключение – так называемая моментная теория упругости, исследующая быстроменяющиеся поля напряжений, например у острия трещин). Кроме того, вектор разложим на нормальную Δ N и касательную ΔT к площадке составляющие. Запишем отношения

p =ΔR / ΔА ,

σ =ΔN / ΔA , (2.3)

τ =ΔT / ΔA ,

где p, σ, и τ – средние на площадке ΔА полное, нормальное и касательное механические напряжения. В дальнейшем слово механическое будем опускать. Как следует из (2.1) размерность напряжений - единица силы, отнесённая к единице площади. В системе СИ это 1Н/1м² или 1 Паскаль (1Па). Таким образом, напряжения в твёрдых телах и давление в жидкости и в газе величины родственные. Но между ними есть существенное различие. Гидростатическое давление всегда направлено по нормали к поверхности и не меняется при изменении ориентации площадки (закон Паскаля), т.е. вектор. Напряжения в общем случае, имеют и нормальную и касательную составляющие и при одном и том же напряженном состоянии (фиксированы точка тела и нагрузка) зависят от ориентации площадки (более сложный физический и математический объект - тензор).

Оценим практически давление или напряжение в 1Па. В быту мы стихийно используем старую единицу силы технической системы единиц физических величин – 1 килограмм сила (кгс). Это сила земного притяжения действующая на массу 1кг., т.е. 9,81 Н. Таким образом, 1Н приблизительно равен 0,1 кгс (порядка веса небольшой тонкой скатерти), а 1м² близок к площади небольшого стола. Ясно, что напряжения контакта стола и скатерти несущественны для любого конструкционного материала. Поэтому в технике используют кратные единицы – килопаскали (1КПа=10³Па) и мегапаскали

(1МПа=10⁶Па). Для сравнения, предел прочности разных сортов стали на разрыв 400-1700 МПа, 1МПа=100м. водяного столба=10ат (атмосфер технических, 1ат=1кгс/см²). Последние в отечественной технической литературе использовались до1978г. Учитывая, что 1Н/1мм²=1МПа, удобно размеры конструкции брать в миллиметрах, а нагрузки в ньютонах и автоматически получать напряжения в мегапаскалях.

Анекдот из собственной практики преподавания.

Экзамен по сопромату. Студентка упорно молчит. Сочувствую, пытаюсь её «вытянуть». Задаю элементарный вопрос: «Что такое напряжения?». Как язык проглотила. Задаю наводящий вопрос: «В чём напряжения измеряются?». Молчит как партизан. Начинаю раздражаться и со скрытой издёвкой: «В вольтах?». В моей интонации барышня чувствует подвох: «В омах» отвечает.

Остаётся открытым вопрос о «малости» площадки. Один м² великоват для технических сооружений, но подойдёт для исследования напряжений в горных массивах. Напряженное состояние в крупных деталях конструкций хорошо было бы описано через каждый см², а средних через мм². Для деталей наручных часов мм² слишком велик. Выход в переходе к пределам, когда вышеупомянутая площадка ΔА «стягивается» вокруг точки С, т.е. ΔА → 0.

_(2.4)

Здесь p, σ, и τ соответственно полные, нормальные и касательные напряжения в точке С.