Лекция 8

Использование статически неопределимых основных систем к задачами изгиба балок. Метод сил и метод перемещений. Примеры.

Цель: На примере сравнительного расчёта статически неопределимой балки методом сил и методом перемещений ознакомить курсантов с использование статически неопределимых основных систем.

Рекомендованная литература: [ 11]

На рис.1 изображена 2-х пролётная неразрезная балка концы которой жестко защемлены. Балка трижды статически неопределима (например за лишние неизвестные можно принять 3 опорных момента) и один раз кинематически неопределима (для обращения в кинематически определимую необходимо в сечении над средней опорой наложить дополнительную связь 1-ого рода исключающую его поворот).

Рис.1 Статически

неопределимая балка

Рис.2

Эквивалентная система

метода сил

Рис.3

Эквивалентная система

метода перемещений

а) Раскрытие статической неопределимости методом сил.

На рис.2 изображена статически неопределимая основная система с эквивалентной нагрузкой полученная путём отбрасывания 1-ой лишней связи за счёт введения разрезающего шарнира ш₁. Эквивалентная нагрузка вызывает в основной системе такие же деформации как у заданной (рис.1). Для этого лишняя связь заменяется самоуравновешенными моментами внутренних сил X₁ (групповым неизвестным), определяемым из условия совместности деформаций, которое может быть записано в форме канонического уравнения метода сил

δ₁₁ X₁+Δ_1p=0 (1)

Здесь δ₁₁ – перемещение в основной системе по направлению отброшенной связи вызванное единичными значениями X₁, Δ_1p – то же от пролётных нагрузок. В данном случае это взаимные углы поворота δ₁₁ и Δ_1p смежных сечений основной системы над опорой от действия моментов и внешней нагрузки (ql и P) соответственно. Поскольку обе части основной системы слева и справа от шарнира ш₁ хорошо изученные один раз статически неопределимые однопролётные балки параметры изгиба которых представлены в таблицах [4-6], определить коэффициент и свободный (грузовой) член уравнения (1) не представляет затруднений

δ₁₁ = l/(2EI Δ_1p = - ql³/(48EI) – Pl²/(32EI) (2)

Решая (1) с учётом (2) получим X₁= - Δ_1p / δ₁₁ = ql²/24 + Pl /16

б) Раскрытие статической неопределимости методом перемещений.

На рис.3 изображена кинематически определимая основная система метода перемещений (полученная наложением на заданную балку дополнительной связи) с эквивалентной нагрузкой включающей внешнюю (ql и P) и дислокационную r₁₁Z₁ нагрузки, которые вместе обеспечивают такие же деформации основной системы, как и заданной. При этом должно выполняться условие отсутствия реакции в дополнительной связи, т.е. каноническое уравнение метода перемещений.

r₁₁ Z₁+ R_1p =0 (3)

Здесь r₁₁ – реакция в 1-ой дополнительной связи вызванная её единичным перемещением (в данном случае на угол ), R_1p - то же от внешней нагрузки (ql и P). Используя таблицы [4-6] найдём

r₁₁ = - 8EI / l; R_1p =Pl/8 – ql²/12 (4)

Решая (3) с учётом (4) получим

Z₁= - R_1p / r₁₁ = Pl²/(64EI) – ql³/(96EI) (5)

Суммируя ординаты грузовой M_p и исправленной единичнои × Z₁ эпюр в сечениях x=l-0 или x=l+0, найдем изгибающий момент над 1-ой опорой

M(x=l) = ql²/24 + Pl /16