4. Теоретические оценки устойчивости

4.1. Устойчивость обратной задачи теплопровод­ности

Обратная задача теплопроводности имеет вид:

Проведем оценку устойчивости обратной за­дачи теплопроводности для множеств решений, ограниченных в гильбертовом пространстве , так как в этих случаях и вид функций, и способ их получения наиболее просты.

Пусть - решение поставленной краевой за­дачи, а класс корректности . Определим . Тогда , а . Преобразуем первое слагаемое, учитывая, что . Тогда . Интегрируем по частям, пола­гая . То­гда (граничные условия обращают в ноль первое сла­гаемое). Этот интеграл опять берём по частям: .

Тогда и сразу

. Рассмотрим функцию . Так как

, то (из не­равенства Буняковского Коши). Таким образом, функция выпукла вниз, лежит не ниже своей касательной, то есть на отрезке не превос­ходит линейную функцию, принимающей на концах отрезка те же значения, что и . Уравнение прямой, проходящей через точки

, имеет вид .

Таким образом, , то есть , откуда, потенци­руя, получаем . Пусть функции из класса корректности, удовлетворяющие задаче, причём , а . То­гда , и искомая оценка имеет вид .

4.2. Оценка устойчивости задачи дифферен­цирования

Задача дифференцирования относится к типу задач, которые могут быть сведены к инте­гральному уравнению Фредгольма I рода. Она ставится так.

Пусть на задана функция . Оце­нить её производную и показать непрерыв­ность оператора дифференцирования на множе­стве корректности .

Пусть , , , – множество корректности, т.е. множество дважды непрерывно дифференцируе­мых функций с ограниченной второй производ­ной. Рассмотрим две функции: , причём Тогда .Так как непре­рывна , то . Будем полагать, что . При других вариантах до­казательство аналогично. Тогда выпукла вверх и при . Представим . То­гда . Так как , то .Таким образом, . Подставим это в выраже­ние для , и заменяя на меньшее выраже­ние, получим . Проинтег­рировав, получим , то есть , . Положив ( достаточно мало, а ), сразу получим . Отсюда и следует непрерывность оператора дифференци­рования на множестве корректности .

Из за погрешности исходных данных эле­мент может не принадлежать множеству . В этих условиях уравнение не имеет классиче­ского решения и не ясно, что надо понимать под приближенным решением уравнения и как его находить. Это и обсуждается в следующей главе.

Культурный минимум

1. Что такое корректность по Тихонову?

2. Отличие корректности по Тихонову от классического понятия корректности.

3. Идея метода библиотеки.

4. Какое множество называется вполне ограниченным?

Вопросы по теме

1. Критерий компактности Фреше – Хаусдорфа.

2. Теорема Тихонова об образе компактного множества.

3. Теорема Тихонова о существовании и непрерывности оператора .

4. Теорема Тихонова о равномерно непрерывной зависимости решения от правой части.

5. Теорема о возможности построения устойчивого решения на компакте.

6. Оценка устойчивости обратной задачи теплопроводности.

7. Оценка устойчивости задачи дифференцирования.

13