3. Метод библиотеки

Если мы решаем задачу в классе корректности по Тихонову, то наиболее общим, но громоздким является метод библиотеки, или метод подбора. Идея этого метода состоит в том, что для элементов некоторого заранее заданного подкласса возможных решений вычисляется оператор , т. е. решается прямая задача. В качестве приближенного решения берется такой элемент , на котором невязка достигает минимума, то есть . Пусть правая часть уравнения известна точно, то есть , и требуется найти его решение . Если искомое точное решение принадлежит множеству , то , и достигается эта нижняя граница на точном решении . Если уравнение имеет единственное решение, то элемент , минимизирующий , определен однозначно.

Практически минимизация невязки производится приближенно. Поэтому возникает вопрос об эффективности и обоснованности метода подбора. Пусть последовательность элементов, для которой . При каких условиях можно утверждать, что при этом и ,то есть что последовательность сходится к ?

Ответ основывается на следующих теоремах.

Теорема 1 (критерий Фреше – Хаусдорфа). Пусть –банахово пространство, а . Множество компактно, если и только если вполне ограничено в .

Комментарий. Множество называется вполне ограниченным, если в множестве найдётся для конечная -сеть (“конечный скелет”), то есть конечное множество . . Необходимость. Пусть множество компакт. Покажем полную ограниченность множества . Зафиксируем , выберем произвольную точку и построим открытый шар . Может случиться так, что . Это означает, что точка образует конечную -сеть для множества , состоящую из одного элемента, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если теперь , то точки и образуют конечную -сеть для , состоящую из двух элементов, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если процесс закончится, то конечная -сеть построена, а если нет, то не фундаментальна, так как , то есть не сходится, что противоречит определению компакта.

Достаточность. Пусть – вполне огра­ниченное множество в полном метрическом пространстве . Покажем, что компакт. Так как полностью ограниченно, то для лю­бого в метрическом пространстве существует конечная -сеть для множества , то есть существует конечное покрытие элемен­тов из открытыми шарами радиуса . Пусть произвольная последовательность элемен­тов из . Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, существует хоть один шар, со­держащий бесконечное число членов последо­вательности , то есть содержащий подпосле­довательность , расстояние между элемен­тами которой меньше . Пусть Вы­делим из последовательности подпосле­довательность , расстояние между элементами которой меньше . Из этой подпос­ледовательности выделим подпоследователь­ность , расстояние между элементами кото­рой меньше и т.д. Таким образом, мы по­лучили последовательность подпоследова­тельностей . Тогда члены “диагональной“ последовательности , начиная с некото­рого номера принадлежат -й подпоследо­вательности, то есть . То есть после­довательность фундаментальна, а так как ба­нахово пространство полное, то , то есть компакт или предкомпакт.

Теорема 2 (А.Н.Тихонов). Пусть в операторном уравнении оператор - взаимно однозначный НЛО: , где компактно, .Тогда

1) образ компактного множества тоже ком­пактен;

2) существует и непрерывен оператор ;

3) решение уравнения равномерно непрерывно зависит от его правой части.

1. Покажем, что образ компактного множе­ства тоже компактен. Непрерывность опера­тора на языке Гейне означает, что для любой последовательности соответствующая последовательность Так как множество компактно, то есть можно выделить . Тогда, в силу непрерывно­сти оператора , соответствующая последова­тельность или замыка­нию , а это и означает, что множе­ство компактно.

2. Покажем, что оператор существует и не­прерывен. . Пусть не является непрерывным на . Так как оператор – НЛО, а – ком­пактно, то из любой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследова­тельность: . Тогда соответствующая последовательность . Так как не является непрерывным на , то из последовательности можно выделить подпоследовательность , но со­ответствующая ей последовательность , то есть не будет схо­диться к . Но оператор – НЛО, т.е. и у последовательности есть два предела. Получили противоречие. Поэтому оператор непрерывный взаимно-однозначный оператор.

3. Покажем, что решение уравнения равномерно непрерывно зависит от его правой части, то есть : .

. Пусть .

. Рассмотрим по­следовательность и пусть , а . Так как множе­ство М – компакт, то из последовательно­стей можно выделить сходящиеся подпоследовательности при , причём . Таким образом, при , а . Проти­воречие. .

Комментарий. Итак, минимизирующая после­довательность сходится к , если:

а) принадлежит классу возможных решений ;

б) множество компакт.

Таким образом, при применении метода подбора требуется по­строить приближенное решение задачи с неко­торой гарантированной точностью по приближенным данным . При этом предполагается известной точ­ность приближенных данных, т.е. максимальная вели­чина отклонения приближенных данных, которыми мы располагаем, от абсолютно точных данных. Другими словами, для любых известно, что .

Теорема 3. Если задача поставлена корректно по Тихонову, то есть , где компакт, то име­ется принципиальная возможность построения такого решения , чтобы норма .

Действительно, так как компакт, то можно построить конечную -сеть с элементами . Выберем из элементов такой элемент , для которого величина достигает минимального значения, то есть .

Полагая, что , оценим норму . Для этого рассмотрим элемент , существова­ние которого следует из определения -сети и для которого . Тогда .

Комментарий. В качестве при­ближенного решения на множестве М уравнения с приближенно известной правой частью можно брать точное решение этого урав­нения с правой частью . Эта задача эквивалентна задаче нахождения на множестве функции, миними­зирующей функционал на соответствующем пространстве. Если , то в качестве приближенного решения уравнения можно брать функцию , для кото­рой .

Если, например, оператор – интегральный, то интегральная сумма, полученная заменой правой части уравнения значениями измеримой функции на фиксированной сетке с узлами, где значения иско­мой функции в узловых точках обозначены через , бу­дет системой линейных уравнений. Теперь задача построения приближенного решения уравнения сведется к задаче нахождения конечномерного вектора, минимизирующего функционал и удовлетворяющего неравенству .

Приведенный метод построения прибли­женного решения по приближенным данным об­ладает большой общностью, он применим и к ре­шению нелинейных операторных уравнений. Од­нако его применение обычно связано с очень большим объёмом вычислений, так как число п, как правило, быстро возрастает с уменьшением . Поэтому при решении некорректных задач часто применяются и другие методы.

Теорема Тихонова не содержит указаний на способы получения оценки устойчивости для конкретных задач. В некоторых простых и редких случаях можно получить теоретические оценки устойчивости.