4. Уравнение теплопроводности с обратным временем

Предположим, что мы рассматриваем задачу распределения тепла по удлиненному телу типа металлического стержня, как показано на рисунке.

В этом случае и получается одномерное уравнение:

Типичное решение одномерного уравнения диффузии тепла с начальным распределением температуры в форме нагретой центральной области стержня показано (в виде графика поверхности) на рисунке.

Задача с прямым временем корректна по Адамару. Задача с обратным временем имеет вид:

Обратное уравнение теплопроводности описывает реконструкцию динамики профиля температуры остывающего стержня, если известно начальное условие в виде профиля температуры в некоторый момент времени после начала остывания. Таким образом, требуется определить, как происходило остывание стержня.

Таким образом,

, Таким образом, это некорректная задача.

Если попробовать осуществить расчет обратного уравнения диффузии тепла по тем же самым алгоритмам, что и для обычных, то мы получим заведомо нефизическое решение. Оно показано на рис. в виде профилей распределения температуры для нескольких последовательных моментов времени.

Как видно, решение выражается в появлении все более быстрых пространственных осцилляции профиля температуры для каждого нового момента времени. Очень существенно, что такое решение является не проявлением неустойчивости численного алгоритма, а определяется спецификой самой задачи.

Задача с обратным временем имеет вид:

Решаем её методом Фурье.

, Таким образом, это некорректная задача. Чтобы понять, чем отличается некорректная задача от неустойчивой, рассмотрим задачу с прямым временем, но с дополнительным слагаемым.

Её решение, полученное методом Фурье, имеет вид:

. Решение неограниченно возрастает при , но за любое конечное время растет не быстрее, чем , и таких мод не более чем конечное число. Это неустойчивость.

5. Задача суммирования рядов Фурье с неточно заданными коэффициентами

Будем рассматривать линейный непрерывный оператор А, действующий из пространства в пространство : . Если изменить компоненты вектора на величину , то есть положить , тогда . В метрике , и при тоже стремится к нулю. Однако в пространстве . Максимум достигается при , то есть , а гармонический ряд расходится, то есть .

6. Дифференцирование функции, известной приближенно

Это, наверное, самая старая и известная задача. Если рассматривать исходные данные и решение как элементы пространства , а функция непрерывно дифференцируема, то, положив и , получим, что . И даже если очень мало, величина может быть сделана сколь угодно большой за счет выбора . То есть это некорректная задача. Идея её решения появилась до метода регуляризации и хорошо его иллюстрирует.

Рассмотрим семейство операторов . Пусть функция непрерывно дифференцируема и - точность исходных данных. Таким образом, имеется приближенное значение исходной функции , причём при всех выполнено неравенство . Тогда . При первое слагаемое стремится к производной , а второе слагаемое при всех не превосходит . Если взять, например, , то при . Таким образом, при замене производной разностным отношением приращения аргумента должны быть не слишком малыми по сравнению с погрешностью значений функции, но и не слишком большими, при которых задача теряет смысл. Это и есть регуляризация и её главная проблема: выбор параметра регуляризации.