3. Векторное произведение двух векторов.

3.1.Основные понятия.

Векторное произведение векторов и обозначается символом  либо [ , ].

Опр. Векторное произведение двух векторов и есть вектор , модуль которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть

  =    =   sin, где  = (рис.3.1). При этом направление вектора определяется двумя условиями:

1) вектор перпендикулярен обоим перемножаемым векторам и (  и  );

2) { ; ; }– правая тройка векторов.

= 

B C

^ h h = bsin

A D

Рисунок 3.1

NB. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле: S_парал. = S_{прямоуг.} =  h =   sin =    =  

Следствие.

Площадь треугольника S_, построенного на приведенных к общему началу векторах и равна S_ =    (рис.3.1).

3.2. Свойства векторного произведения векторов.

1) Антикоммутативность (антиперестановочность) множителей

 =   .

2) Ассоциативность (сочетательность) относительно скалярного множителя

(  ) =   =   .

3) Дистрибутивность (распределительность) относительно сложения (вычитания)

 ( ) =  

4) Если = или = , либо  , то  = . В частности,  = ,  .

5) Векторные произведения координатных ортов , , соответственно равны:

(3.1)

Формулы (3.1) можно представить в виде следующей схемы (рис.3.2).

(+)

; ; ; ;

()

Рисунок 3.2

По схеме (3.2), векторное произведение двух соседних ортов в положительном направлении равно следующему орту в этом направлении, взятому со знаком плюс, а векторное произведение двух соседних ортов в отрицательном направлении равно следующему орту в этом направлении, взятому со знаком минус.

Теорема. Если ненулевые векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Кратко: if  (  ,  )   = .

Доказательство.

Если  , (  ,  )   = 0 либо  = , где  = ( )  sin =0     =   sin = 0   = . Fin.

NB. Векторное произведение радиус-вектора и силы есть вектор момента силы =  относительно точки приложения радиус-вектора .

3.3. Выражение векторного произведения векторов через их координаты.

Теорема.

Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами, = (а_х; а_y; a_z) и = (b_x; b_y; b_z) считается по формуле

 = (3.2)

Доказательство.

С учетом формул (3.1) получим

 = (а_х + а_y + a_z )( b_x + b_y + b_z ) = a_xb_x(  ) + a_xb_y(  ) + a_xb_z(  ) + a_yb_x(  ) +a_yb_y(  ) + a_yb_z(  ) +a_zb_x(  ) +a_zb_y(  ) +a_zb_z(  ) = 0 + a_xb_y  a_xb_z  a_yb_x + 0 + a_yb_z + a_zb_x  a_zb_y + 0 = (a_yb_z  a_zb_y)  (a_xb_z  a_zb_x) + (a_xb_y  a_yb_x) = =    +  = . Fin.

Следствие.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , считается по формуле

S_парал. =    = (3.3)

Пример 1.

Дано: А(1; 1; 1), В(2; 2; 2), С(4; 3; 5). Найти площадь треугольника S_ABC и длину его высоты h_B =  .

Решение.

Пусть = = (1; 1; 1), = = (3; 2; 4). Площадь треугольника S_ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и : S_ABC = S_ABЕC (рис.3.3).

В Е

h_B

А С

D

Рисунок 3.3

Тогда  = =    +  = 2   = (2; 1; 1)  S_ =    = =

С другой стороны, S_ =   h_B  h_B = =

Ответ: S_ = ед.², h_B = ед.

Пример 2.

Дано:  ,  , где = (4; 2; 3), = (0; 1; 3),   = 26. Найти координаты вектора .

Решение.

Так как  и    =  . Из   =  =   =  = (    +  ) = (3  12 + 4 ) = (3 ; 12; 4 ). Таким образом, = (3 ; 12; 4 )    = =  =  13 . Так как по условию   = 26  26 =  13  = 2. Следовательно, = (6; 24; 8), = (6; 24; 8).

Ответ: = (6; 24; 8), = (6; 24; 8).