2. Скалярное произведение двух векторов.

2.1. Основные понятия.

Опр. Скалярное произведение двух векторов и есть число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение  , или ( , ).

Таким образом,  =   cos, где  = . (2.1)

Так как  cos = и  cos = (рис.2.1), то равенство (2.1) можно записать в следующем виде

 =   =   (2.2)

=AС₁

В С₁

А ^ B₁ С

= AB₁

Рисунок 2.1

NB. Механический смысл скалярного произведения. Если тело под действием постоянной силы перемещается на расстояние , то это значит, что над телом совершена механическая работа А, численно равная скалярному произведению силы на вектор перемещения , то есть А =  .

2.2. Свойства скалярного произведения векторов.

1) Переместительность (коммутативность)

∙ = ∙ .

2) Сочетательность (ассоциативность) относительно скалярного множителя

∙ ∙ = ( ∙ )∙ = ∙( ∙ ) = ∙( ∙ ), R.

3) Распределительность (дистрибутивность) относительно суммы векторов

( + )∙ = ∙ + ∙ .

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Следовательно, модуль вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата:

= ∙ = ∙ ∙cos0 =  ²    = .

5) Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть из   ∙ = 0.

NB. Если = или = , то  = 0.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно нулю, когда перемножаемые векторы либо перпендикуляры, либо хотя бы один из них равен нулю. На основании этого свойства вводится понятие ортогональности векторов.

Опр. Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

6) Скалярные произведения координатных ортов соответственно равны:

= = = 1;  =  =  = 0 (2.3)

или

=

2.3. Выражение скалярного произведения векторов через их координаты.

Теорема.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих одноименных координат. Следовательно, если = (а_х; а_y; a_z), = (b_x; b_y; b_z), то

 = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z (2.4)

Доказательство.

Так как = а_х + а_y + a_z ; = b_x + b_y + b_z , то с учетом формул (2.3), получим

 = (а_х + а_y + a_z )( b_x + b_y + b_z ) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z . Fin.

Следствие 1. Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.

Если  ( ≠ , ≠ )   = 0  a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0.

Пример.

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами его вершин А(4; 4; 4), В(3; 2; 2), С(2; 5; 1), D(3; 2; 2) взаимно перпендикулярны.

Решение.

Найдем координаты векторов и : = (6; 9; 3), = (6; 4; 0). Тогда

 = 36  36 = 0   .

Следствие 2.

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат, так как

=  =  cos0 =  ²    = = (2.5)

Следствие 3.

Из формулы (2.2) следует, что проекция одного вектора на направление другого вектора равна

= (2.6)

Следствие 4.

Из формулы (2.1) следует, что косинус угла между двумя векторами находится по формуле

cos = , где ≠ , ≠ (2.7)

Пример 1.

Дано: = (2; 2; 1), = (4; 1; 1). Найти  ,  ,  , , ,  = .

Решение. По формулам (2.4)  (2.7) получим:

 = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 2∙4 + (–2)∙(–1) + 1∙(–1) = 8 + 2 –1 = 9

  = = = 3;   = = = = 3 ;

= = = ;

= = ;

cos = =   = arccos .

Пример 2.

Дано: = (3; 2; 4), = (5; 1; 6), = (3; 0; 2). Найти координаты вектора , если  = 4;  = 35;  = 0.

Решение.

Пусть = (x; y; z), тогда

 ² ~ ~ ~ ~ ~     = (2; 7; 3). Ответ: = (2; 7; 3).

Пример 3.

Дано: = (2; 1; 1),  ,  = 3, = ?

Решение.

1) так как   =   = (2 ; ;  ),

2) так как  = 3  a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 3  4 + + = 3  6 = 3  = 

 = (1; ; ). Ответ: = (1; ; ).