1.7. Действия над векторами, заданными своими координатами.
Пусть
=
+
+
=
(ax;
ay;
az);
=
+
+
=
(bx;
by;
bz)
Линейные операции над векторами.
1) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ; ; ).
2) = + + = ( ax; ay; az).
Условие равенства двух векторов.
Если
=
Условие коллинеарности двух векторов.
Если
=
(1.15).
Следовательно, у коллинеарных векторов все проекции пропорциональны.
Пример.
При каких значениях и векторы = (; 3; 1); = (2; 6; ) коллинеарны.
Решение.
В данном
случае равенство (1.15) примет вид:
= 1; = 2.
1.8. Деление отрезка в данном отношении.
Пусть
в пространстве даны две различные точки
М1(х1; y1;
z1) и М2(x2;
y2; z2)
(рис.1.13). Найдем координаты точки М(x;
y; z), которая
делит отрезок [M1M2]
в отношении
.
Но так как деление векторов не определено,
то воспользуемся эквивалентным
соотношением
=
.
z
M1
M
М2
y
О
x
Рисунок 1.13
Тогда:
1) если М[M1M2], то говорят, что точка М делит отрезок [M1M2] внутренним образом. В этом случае . Следовательно, > 0;
2) если М[M1M2], то говорят, что точка М делит отрезок [M1M2] внешним образом. В этом случае . Следовательно, < 0;
3)
1. Если бы
=
1, то тогда
=
+
=
0
М1 = М2. А это противоречит
условию, что точки М1 и М2
различны;
4) если = 0 М = М1;
5) если = М = М2.
Из равенства =
,
(
1), (1.16)
где (x; y; z) – координаты точки М и радиус-вектора , (х1; y1; z1) - координаты точки М1 и радиус-вектора , а (x2; y2; z2) - координаты точки М2 и радиус-вектора . Тогда систему уравнений (1.16) можно кратко записать одним векторным уравнением
(1.17)
Пример 1. Дано: М1(3; 2; 4), М2(6; 0; 1). Определить координаты точки М(x; y; z), делящей отрезок [M1M2] в отношении =2.
Решение.
Так как координаты точки М равны
координатам ее радиус-вектора
,
то по формуле (1.17) получим
Ответ:
М(3;
;
2)
Пример 2.
Вычислить
координаты точки М, делящей пополам
вектор
,
если М1(2; 8; 6), М2(4; 6;
0).
Решение.
Так как точка М делит отрезок [M1M2]
пополам, то
=
=
,
=1.
Тогда по формулам (1.16) получим
М(3; 1; 3).
Ответ: М(3; 1; 3).
Пример 3.
Даны две вершины треугольника АВС: А(5; 3), В(2; 1) и точка М(2; 2) пересечения его медиан. Определить координаты вершины С треугольника АВС (рис.1.14).
В
D
М
А С
Рисунок 1.14
Решение. По условию точка D делит отрезок [AB] пополам. Тогда по формулам деления отрезка пополам найдем координаты точки D:
хD
=
;
уD =
D(
;
1)
Согласно
свойству пересечения медиан треугольника
точка М делит отрезок [СD]
в отношении
=
.
Следовательно, хМ =
хС = хМ(1+
)
хD
= 23
2
=
1; уМ =
уС = уМ(1+
)
уD
= 23
21 = 4
С(1;4) Ответ: С(1;
4).
Пример 4.
Определить координаты концов отрезка [AB], если точки С(2; 0; 2) и D(5; 2; 0) делят его на три равные части (рис.1.15):
А С D В
Рисунок 1.15
Решение. Точка С является серединой отрезка [АD], следовательно,
хС
=
;
уС =
;
zC =
А(1;
2; 4).
Аналогично, точка D является серединой отрезка [СВ], следовательно,
хD
=
;
уD =
;
zD =
В(8; 4;
2)
Ответ: А(1; 2; 4); В(8; 4; 2).