1.6.2. Декартовы координаты произвольного вектора на плоскости.
Найдем декартовые координаты произвольного вектора = на плоскости Oxy, если А(xA; yA), B(xB; yB) (рис.1.11).
y
yB B
yA A
x
O xA xB
Рисунок 1.11
Проекции
вектора
=
на координатные оси Ох и Оу соответственно
равны:
прх
=
=
хВ хА;
пру
=
=
уВ уА
Тогда
=
=
+
= (хВ хА)
+
(уВ уА)
= (хВ хА;
уВ уА).
Опр.
Числа
=
хВ хА
и
=
уВ уА
называются декартовыми координатами
вектора
=
на плоскости Oxy.
По
теореме Пифагора имеем
=
=
.
Тогда по свойству проекции вектора на ось получим:
1.6.3. Декартовы координаты произвольного вектора в пространстве.
Найдем декартовые координаты произвольного вектора = в пространстве, если А(хА; yA; zA), B(xB; yB; zB) (рис.1.12).
z
A
B
y
O
x
Рисунок 1.12
Из определения разности векторов и формулы (1.6) получим
=
=
= (xB
+
yB
+
zB
)
(xA
+
yA
+
zA
)
= (хВ хА)
+
(уВ уА)
+ + (zB
zA)
=
(хВ хА;
уВ уА;
zB
zA).
(1.11)
Следовательно, проекции вектора на координатные оси соответственно равны
прх
=
=
хВ хА,
пру
=
=
уВ уА,
прz
=
=
zВ
zА.
Опр. Числа = хВ хА, = уВ уА, = zВ zА называются декартовыми координатами вектора = в пространстве.
NB. Каждая декартовая координата вектора численно равна его проекции на соответствующую ось.
По свойству проекции вектора на ось имеем:
(1.12)
,
(1.13)
где (по теореме Пифагора) равен:
=
=
(1.14)
Пример 1.
Найти координаты вектора = , его длину и направляющие косинусы, если А(1; 3; 2), В(5; 8; 1).
Решение. Найдем ax = xB xA = 5 1 = 4; ay = yB yA = 5; az = zB zA = 3
=
4
+
5
3
;
=
=
=
=
5
;
.
Пример 2.
Найти на оси Ох координаты точки М, которая равноудалена от точек А(2; 4; 6) и В(3; 2; 5).
Решение.
По
условию 
= 
.
Так как точка МОх
М(х; 0; 0). Поэтому
=
=
;
=
=
.
Так как = (х 2)2 + 52 = (х + 3)2 + 29 х2 4х + 56 = х2 + 6х +38 10х = 18 х = 1,8 М(1,8; 0; 0). Ответ: М(1,8; 0; 0).