1.6. Декартовы координаты вектора.
Опр. Три ортогональные (взаимно перпендикулярные) координатные оси Ox, Oy, Oz, имеющие общее начало О и единую единицу масштаба, образуют декартову систему координат в пространстве (рис.1.9).
z
y
O
x
Рисунок1.9
Ось Ox это ось абсцисс, ось Oy это ось ординат, ось Оz это ось аппликат. Орты , , сонаправлены соответственно осям Ox, Oy, Оz. Так как орт это единичный (то есть нормированный) вектор, то ортогональные орты , , образуют ортогональный ортонормированный базис, который обозначается { , , }.
Базисные тройки ортогональных ортов { , , } бывают двух типов.
Опр. Базисная тройка { , , } называется правой, если при кратчайшем повороте от вектора к вектору направление движения правого винта совпадает с направлением вектора . В противном случае орты , , образуют левую базисную тройку.
Ориентация базисной тройки не меняется при циклической (круговой) перестановке ортов: { , , } { , , } { , , } { , , }. Но если в базисной тройке поменять местами любые два орта (или один из ортов заменить ему противоположным), то такая базисная тройка изменит свою ориентацию. Например, если { , , } правая базисная тройка, то { , , } левая.
В научной литературе принято пользоваться правой базисной тройкой ортов { , , }, которые образуют правую декартову систему координат.
1.6.1. Радиус-вектор точки и ее координаты.
Пусть М – произвольная точка пространства.
Опр.
Радиус-вектор точки М
это вектор
=
с
началом в начале декартовой системы
координат – точке О, и концом – в точке
М (рис.1.10).
z
C
M
O
B y
A
x
Рисунок 1.10
Опустим из точки М перпендикуляры на
координатные плоскости (Oxy),
(Oxz) и (Oyz).
Из рисунка 1.10 видно, что
=
x
;
=
y
;
=
z
,
где x, y, z
есть расстояния от точки М до плоскостей
(Oyz), (Oxz),
(Oxy) соответственно. Этим
же расстояниям равны проекции точки М
на оси Ox, Oy,
Oz соответственно.
Опр. Декартовыми координатами радиус-вектора называются проекции этого вектора на соответствующие координатные оси:
x = прx ; y = прy ; z = прz .
Таким образом, числа x, y, z называются декартовыми координатами (компонентами) радиус-вектора . Обозначение: = (x; y; z). Читается: «радиус-вектор имеет координаты (x; y; z)».
NB. Поскольку точка М имеет те же координаты, что и радиус-вектор , то ее координаты символически обозначается так: М (x ; y; z).
Радиус-вектор как диагональ параллелепипеда равен сумме следующих векторов
= + + = x + y + z (1.6)
Формула (1.6) называется разложением радиус-вектора по базисной тройке { , , }, а векторы x ; y ; z называются компонентами радиус-вектора соответственно по осям Ox, Oy, Oz .
Из теоремы Пифагора следует формула, выражающая длину радиус-вектора через его координаты
=
1.7)
Так как радиус-вектор образует с осями Ox, Oy, Oz соответственно углы , , , то его направление определяется с помощью так называемых направляющих косинусов cos , cos , cos , которые находятся из соотношения
=
x
+
y
+
z
=
cos
+
cos
+
cos
(1.8)
(1.9)
Возводя в квадрат каждое из равенств (1.9) и почленно складывая их, получим
сos2 + cos2 + cos2 = 1 (1.10)
NB. Из формул (1.8) следует, что координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам: = (cos ; cos ; cos ).
Пример.
Радиус-вектор
составляет
с осями координат углы
,
,
,
причем
=
,
=
.
Найти координаты радиус-вектора
,
если
=3.
Решение.
Найдем угол . Из соотношения (1.10) для направляющих косинусов следует
сos
=
=
=
0,5
=
,
=
Координаты радиус-вектора найдем по формулам (1.8):
x
=
cos
=
=
;
y =
cos
=
;
z1 =
cos
1
=
;
z2 =
cos
2
=
Ответ:
= (
;
;
),
= (
;
;
)