1.5. Проекция вектора на ось.

Ось  это прямая с заданным на ней направлением. Положительное направление оси L задается ее ортом .

Опр. Углом между двумя векторами называется наименьший угол , на который необходимо повернуть один вектор, чтобы он совпал с другим вектором по направлению. Поворот против хода часовой стрелки считается положительным, а по ходу часовой стрелки - отрицательным (рис.1.7).

L₂ L₂

_ ^

L₁ L₁

а) б)

Рисунок 1.7

Очевидно, что 0    .

NB. Угол между векторами и обозначается символом .

Пусть даны произвольный вектор = и ось L.

B B

A A

_ ^

L L

A₁ B₁ B₁ A₁

a_L > 0 a_L < 0

а) б)

Рисунок 1.8

Опр. Проекция вектора = на ось L есть число, равное длине вектора , где точки А₁ и В₁  это основания перпендикуляров, опущенных из начала А и конца В вектора на ось L (рис.1.8). Обозначение: a_L = пр_L . Проекция a_L берется со знаком (+), если направление вектора совпадает с направлением оси L, и осо знаком (), если направление вектора противоположно направлению оси L. Таким образом, a_L =  при  L и a_L =   при  L. Следовательно, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: a_L = пр_L =  cos

Основные свойства проекций.

1) Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол и равна нулю, если этот угол прямой.

2) Равные векторы имеют равные проекции на ось.

3) Проекция вектора на параллельную ему ось равна модулю этого вектора. Проекция берется со знаком (+), если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком () в противном случае.

4) Проекция суммы векторов на ось равна алгебраической сумме их проекций на эту ось:

пр_L ( + + ) = пр_L + пр_L + пр_L .

5) При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число

пр_L ( ) = пр_L

NB. Таким образом, линейные операции над векторами можно заменить линейными операциями над их проекциями.