1.4. Линейно-векторное пространство. Базис. Разложение вектора по базису.

Опр. Линейно-векторное пространство (ЛВП) – это такое множество векторов ( ), для которых определены операции сложения и умножения на действительное число и которые удовлетворяют аксиомам линейности 1  7 (п.1.2).

ЛВП называется n-мерным (обозначается Rⁿ), если в нем максимальное число линейно независимых векторов равно n, а любое множество (n+1) векторов будет линейно зависимым. Поскольку наибольшее число линейно независимых векторов на прямой равно одному, на плоскости  двум, а в пространстве  трем, то размерности этих ЛВП соответственно равны 1, 2 и 3 (обозначение: R¹, R², R³).

NB. Множество векторов называется упорядоченным, если каждый из них имеет свой порядковый номер. Система векторов – это всегда упорядоченное множество векторов.

Опр. Базисом в n-мерном ЛВП (Rⁿ) может быть любая система n линейно независимых векторов. Обозначение n-мерного базиса: { ; ;…; }.

Количество базисных векторов всегда равно размерности данного ЛВП. Так как базисные векторы – линейно независимы, то:

а) базисом на прямой является любой ненулевой вектор этой прямой;

б) базисом на плоскости является любая пара упорядоченных линейно независимых (неколлинеарных) векторов этой плоскости, приведенных к общему началу;

в) базисом в пространстве является любая тройка упорядоченных линейно независимых (некомпланарных) векторов, приведенных к общему началу.

NB. В любом ЛВП может быть несколько базисов.

NB. Любой вектор данного ЛВП можно только единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов.

Теорема (о разложении вектора по базису на плоскости)

На плоскости любой вектор можно только единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных (неколлинеарных) векторов и :

= + = (1.4)

Запись (1.4) означает, что вектор разложен по базису { ; }. Числа и называются аффинными координатами (компонентами) вектора в базисе { ; } и они же являются аффинными координатами точки А в базисе { ; }. Для координат вектора принято обозначение = ( ; ). Координаты точки А обозначаются так: А( ; ).

Доказательство.

1) Пусть ( , , )₁, где ₁  плоскость, причем # . Приведем все три вектора к общему началу О и проведем прямые, являющиеся продолжением векторов и . Получим координатные оси Ох и Оу, сонаправленные векторам и соответственно. При этом длина базисного вектора будет единицей длины соответствующей оси (рис.1.5).

у

А

А₂

х

О А₁

Рисунок 1.5

Построенная система координат именуется аффинной системой координат с началом О и базисными векторами и . Она обозначается символом {O; ; } или { ; }. Через конец вектора проведем прямые, параллельные базисным векторам , и получим, что = ; = . Тогда = + .

2) Докажем однозначность коэффициентов и . Допустим, существует другое разложение вектора по базису { ; }, например, = + . Вычтем это равенство из равенства (1.4) и получим (  ) + (  ) = . Так как по условию векторы # , то по теореме 2 (п.1.3) эти векторы  линейно независимы. Тогда полученное равенство возможно лишь при условии  . Fin.

Теорема (о разложении вектора по базису в пространстве).

В пространстве любой вектор можно только единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных (некомпланарных) векторов , , :

= + + = (1.5)

Запись (1.5) означает, что вектор разложен по базису { ; ; }. Числа , и называются аффинными координатами (компонентами) вектора в базисе { ; ; } и они же являются аффинными координатами точки А в базисе { ; ; }. Для координат вектора принято обозначение = ( ; ; ). Координаты точки А обозначаются А( ; ; ).

Доказательство.

1) Аналогично случаю на плоскости введем аффинную систему координат в пространстве: { ; ; } (рис.1.6).

А

z

y

A₃

A₂

x

O

A₁

_{Рисунок 1.6}

Через конец вектора проведем прямые, параллельные базисным векторам , , и получим = ; = ; = . Тогда = + + .

2) Докажем однозначность коэффициентов , и . Допустим существует другое разложение вектора по базису { ; ; }, например, = + + . Вычтем это равенство из равенства (1.5) и получим (  ) + (  ) + (  ) = 0.

Так как по условию векторы , , некомпланарны, то по теореме 3 (п.1.3) они  линейно независимы. Тогда последнее равенство возможно лишь при условии

 . Fin.

NB 1. Если векторы , , взаимно перпендикулярны и    , то такая система векторов называется прямоугольной системой базисных векторов в пространстве.

NB 2. Если векторы , , взаимно перпендикулярны и   =   =   = 1, то такая система векторов называется декартовой системой базисных векторов в пространстве. При этом векторы , , обозначаются соответственно символами , , .

Теорема 1. Два вектора = ( ; ; ) и = ( ; ; ) равны, если в одном и том же базисе равны их соответствующие координаты, то есть .

Теорема 2. Два вектора = ( ; ; ) и = ( ; ; ) коллинеарны, если в одном и том же базисе пропорциональны их соответствующие координаты, а именно



NB. Назначение любого базиса состоит в том, чтобы от линейных операций над векторами перейти к линейным операциям над их координатами.

Основные свойства аффинных координат.

1) При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство.

Пусть = + + = ( ; ; )  k = k( + + ) = (k ) + (k ) + (k ) = (k ; k ; k ) . Fin.

2) При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

Доказательство.

Пусть = + + = ( ; ; ) и = + + = ( ; ; ).

Тогда + = ( + ) + ( + ) + ( + ) =( + ; + ; + ). Fin.

Пример 1. В базисе { ; ; } даны векторы =(1; 2; 0); =(1; 1; 1); =(2; 0; 1), а в базисе { ; ; } дан вектор =(1; 2; 1). Найти координаты вектора в базисе { ; ; }.

Решение. Согласно условию =  +2 + , где = +2 ; =  + + ; = 2 + . Следовательно, = ( +2 )+2( + + )+(2 + ) =  +3 = (1; 0; 3)

Ответ: = (1; 0; 3) в базисе { ; ; }.

Пример 2. В базисе { ; ; } даны векторы =(0; 1; 2); =(2; 1; 1); =(1; 0; 1); =(2; 1; 3). Доказать, что векторы { ; ; } образуют базис и найти в этом базисе координаты вектора .

Решение. Если векторы , , образуют базис, то равенство нулю их линейной комбинации = 0 возможно лишь тогда , когда = 0. Найдем все возможные значения . Подставим в данную линейную комбинацию вместо векторов ( ) их разложение по базису { ; ; }. Получим = + + = (  2 )+ + (2 + + )+ ( + ) = (2 + ) + ( + ) + (2 + + ) = 0

Так как векторы , , образуют базис, то они линейно независимы. Следовательно, последнее равенство выполняется только тогда, когда равны нулю все коэффициенты при векторах , , , то есть имеет место однородная СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений):

По теореме Кронекера - Капелли, если число неизвестных n = r(A) = r(A|В), то такая однородная СЛАУ является совместной и определенной, то есть она имеет только тривиальное решение:  = 0 ( ). В этом случае векторы , , будут линейно независимыми и могут образовать базис. Чтобы доказать, что  = 0, для данной однородной СЛАУ составим расширенную матрицу и с помощью метода Гаусса приведем ее к ступенчатому (треугольному) виду.

NB. Из вида расширенной матрицы следует, что в ее 1-ом столбце записаны координаты вектора , во 2-ом – координаты вектора , в 3-ем – координаты вектора , а в 4-ом – столбце (столбце свободных членов) – координаты нулевого вектора .

~ ~ ~ ^2 ~ ~ ~   = = = 0.

Так как  = 0 ( ), то { ; ; }  базис. Теперь в этом базисе найдем координаты вектора . Для этого запишем формальное разложение вектора по базису { ; ; }:

= + +

и вместо векторов , , , подставим разложение каждого из них по исходному базису { ; ; }. Получим: 2 + + 3 = ( 2 ) + (2 + + ) + ( + )  {Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было сравнить коэффициенты при базисных векторах , , в обеих частях равенства.} 2 + + 3 = (2 + ) + ( + ) + (2 + + ) 

Для данной СЛАУ составим расширенную матрицу и с помощью метода Гаусса приведем ее к ступенчатому виду.

NB. Из вида расширенной матрицы следует, что в ее 1-ом столбце записаны координаты вектора , во 2-ом – координаты вектора , в 3-ем – координаты вектора , а в 4-ом – столбце (столбце свободных членов) – координаты вектора .

~ ~ ^2 ~ ~     = 2 + 3  4 . Ответ: = 2 + 3  4