1.2. Линейные операции над векторами.

Линейные операции над векторами – это сложение, вычитание векторов и умножение вектора на действительное число.

Опр. Суммой + векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , если вектор отложен от конца вектора который (обозначение: + = ). Это правило «треугольника» (рис.1.2):

= +

Рисунок1.2

С уммой n векторов ( ) называется вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом последнего вектора, при условии, что каждый последующий вектор отложен от конца предыдущего (рис. 1.3): = .

=

Рисунок 1.3

Опр. Произведением вектора на действительное число называется вектор =  , который имеет длину  =  , сонаправлен вектору (  ) при >0, и противоположно направлен вектору (  ) при <0.

NB. При = 1 вектор =  является противоположным вектору , то есть =  .

Таким образом,

1. если   =  ;

2. любой вектор равен произведению модуля этого вектора на его орт: =   . Тогда орт любого вектора равен произведению этого вектора на число, обратное его модулю: = .

Разность векторов  вводится как сумма векторов и ( ):

 = + ( ).

Свойства линейных операций над векторами

(аксиомы линейности):

1) сложение векторов коммутативно (переместительное свойство):

+ = + ;

2) сложение векторов ассоциативно (сочетательное свойство):

( + ) + = + ( + );

3) сумма взаимно противоположных векторов равна нулевому вектору:

+ ( )= ;

4) при сложении векторов нулевой вектор играет ту же роль, что число 0 в арифметике:

+ = .

5) умножение вектора на несколько действительных чисел ассоциативно относительно этих чисел:

(  ) = (  ) = (  ),  ,  ( , )R;

6) особая роль единицы: 1 = ,  ;

7) умножение вектора на число дистрибутивно (распределительное свойство):

а) относительно сложения векторов: ( + )=  +  ;

б) относительно сложения чисел: ( + ) =  +  .

1.3. Линейная зависимость векторов.

Опр. Вектор называется линейной комбинацией векторов ( ), если его можно представить как результат линейных операций над этими векторами, то есть

= , (1.1)

где  R называются коэффициентами данной линейной комбинации. При этом говорят, что «вектор разложен по векторам ».

Опр. Векторы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю только тогда, когда  =0, то есть

= 0 при = 0. (1.2)

В противном случае, если

= 0, когда  0, (1.3)

векторы называются линейно зависимыми.

Теорема А. Векторы линейно зависимы, если хотя бы один из них – нулевой.

Доказательство. Пусть = , тогда равенство (1.3) также выполняется при 0.

Теорема В. Векторы ( ) линейно зависимы, если хотя бы два из них  линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть векторы и  линейно зависимы, то есть = 0 при 0, а остальные векторы линейно независимы, то есть = 0 при = 0. Тогда все векторы являются линейно зависимыми, так как = 0 при  0. Fin.

NB. Необходимые и достаточные условия в теоремах. Что они означают?

Пусть существуют два условия или два утверждения А и В. Если из А следует В (АВ), то А называется достаточным условием для В, а В  необходимым условием для А. В теоремах А – это условие теоремы, а В – это утверждение теоремы. Тогда имеем:

1. Когда ход доказательства теоремы идет в прямом направлении, то есть из условия теоремы, доказывается утверждение теоремы, тогда доказывается необходимость.

2. Когда ход доказательства теоремы идет в обратном направлении, то есть из утверждения теоремы, доказывается условие теоремы, тогда доказывается достаточность.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов).

Для того, чтобы векторы ( ) были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных векторов.

NB. Часто в теоремах синонимом необходимого и достаточного условия служит словосочетание «тогда и только тогда». Поэтому эту же теорему можно сформулировать еще так.

Векторы ( ) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть векторы  линейно зависимы, то есть = 0 при  0, причем пусть 0. Тогда =  , следовательно, вектор является линейной комбинацией остальных векторов ( ).

2) Достаточность. Пусть вектор является линейной комбинацией остальных векторов: =  (1) + = 0  = 0 при  0, следовательно, векторы  линейно зависимы. Fin.

Теорема 2 (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов).

Два ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть векторы и - линейно зависимы. Следовательно, = 0 (  0). Допустим 0. Тогда из условия = 0  + = 0  =     .

2) Достаточность. Пусть   =  (1) + = 0  = 0 (  0), то есть векторы и  линейно зависимы. Fin.

Теорема 3 (необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов).

Три ненулевых вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть векторы , , - линейно зависимы, тогда, по теореме 1, хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Пусть, например,

= + . По правилу сложения векторов и умножения вектора на действительное число получим: ( , , )₁.

О

Рисунок 1.4

2) Достаточность. Пусть # и ( , , )₁, где ₁  плоскость. Приведем все три вектора к общему началу и через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам и . Тогда получим: = ; =  = + 

(1) + = 0  = 0 (  0), то есть векторы , ,  линейно зависимы (рис. 1.4). Fin.

NB. Максимальное число линейно независимых векторов для плоскости равно двум, для пространства – трем.