4.3. Выражение смешанного произведения векторов через их координаты.
Теорема.
Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами, равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов:
=
(4.1)
Доказательство.
= ( ) = = ( + )(cx + cy +
+ cz ) = cx cy + cz = . Fin.
Следствие 1.
Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.
= = 0 (4.2)
Следствие 2.
Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах , , , равен модулю их смешанного произведения.
V = | | = mod (4.3)
Следствие 3.
Объем
треугольной пирамиды, построенной на
трех векторах
,
,
равен
модуля их смешанного произведения.
Vпир. =
|
|
=
mod
(4.4)
Доказательство.
Так как объем треугольной пирамиды
равен
произведения площади ее основания на
высоту, то Vпир. =
SOAB
h =
SОАDВ
h =
Vпарал.
=
|
|
= =
mod
.
Fin.
С
В D
h
О А
Рисунок 4.2
Пример 1.
Найти объем треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин: А(1; 1; 1), В(4; 4; 4), С(3; 5; 5), D(2; 4; 7).
Решение.
Найдем координаты трех векторов, приведенных к общему началу, которые образуют ребра треугольной пирамиды АBСD. Например,
=
=
(3; 3; 3),
=
=
(2; 4; 4),
=
=
(1; 3; 6). Тогда
V
пир.
=
|
|
=
mod
=
{
=
32
1
= 6
=
=6
=
= 6113
= 18} =
= 3 (ед3.). Ответ: Vпир.
= 3 (ед3.)
Пример 2.
Даны координаты вершин треугольной пирамиды А(2; 4; 5), В(1; 3; 4), С(5; 5; 1), D(1; 2; 2). Найти длину ее высоты hA, проведенной из вершины А.
Решение.
Найдем
векторы
,
,
и по формуле (4.4) определим объем V
пирамиды (рис.4.3).
А
D
В С
Рисунок 4.3
Обозначим = = (3; 1; 1), = = (6; 8; 5), = = (2; 1; 2). Тогда Vпир.= | |.
С другой
стороны Vпир.=
SВСDhA,
где SВСD
=
.
Следовательно, hA
=
=
=
=
.
Найдем
=
3
=
=
=
= 45
=
=
+
= 11
+
2
10
=
(11; 2; 10)
=
=
=
15. Тогда hA
=
= 3. Ответ: hA
= 3 ед.
Приложение 1.
Тема: «Векторная алгебра».
Точки А, В, С, D заданы координатами (см. таблицу).
Индивидуальная домашняя работа.
1) Найти
координаты векторов
=
,
=
,
=
,
=
,
=
.
Посчитать их длины
,
,
,
,
и найти координаты их ортов
,
,
,
,
.
2) Найти
координаты вектора
и
удовлетворяющего условию:
=
1.
3) Найти
координаты вектора
=
2
+
3
и
определить его модуль
.
4) Найти
координаты вектора
,
если известно, что
и
= 2.
5) Проверить на линейную зависимость векторы , , . Могут ли эти векторы образовать базис в пространстве R3. Если могут, то разложить вектор по базису { , , }.
6) Вычислить скалярные произведения векторов , , , . Будут ли пары векторов и , и , и , и перпендикулярны между собой? Ответ обосновать.
7) Найти
проекции
,
,
,
,
.
8) В треугольнике АВС найти:
а) площадь треугольника;
б) длины всех сторон;
в) длины всех высот;
г) длины всех медиан;
д) координаты точки пересечения медиан;
е) все внутренние углы;
ж) острый угол между медианой CМ и стороной АВ.
9) Вычислить векторные произведения векторов , , и их модули , , .
10) Дано:
=
+
,
=
,
=
+
.
Компланарны ли векторы
,
,
?
Могут ли эти векторы образовать базис
в пространстве R3.
Если могут, то разложить вектор
по базису {
,
,
}.
11) В треугольной пирамиде АBCD найти:
а) ориентацию тройки векторов , , ;
а) объем пирамиды;
б) длины всех ребер;
в) длины всех высот;
г) площадь каждой грани пирамиды;
д) углы между ребрами АВ и АС, АВ и АD, AC и AD.
12) Вычислить ( ) , ( ) , ( ) .
13) Найти координаты вектора = (x; y; z), если известно, что:
а) = 1, = 1, = 2,
б)
,
,
=
,
в) , , = 1.
ТАБЛИЦА
0) А(3; 1; 2); В(2; 2; 3); С(3; 2; 1); D(1; 3; 1).
1) A(1; 2; 3); B(3; 1; 2); C(2; 3; 1); D(3; 2; 1).
2) A(1; 3; 2); B(2; 2; 3); C(1; 2; 1); D(3; 2; 3).
3) A(2; 1; 1); B(2; 3; 3); C(1; 3; 2); D(1; 2; 3).
4) A(1; 3; 1); B(2; 2; 1); C(1; 1; 2); D(2; 2; 2).
5) A(1; 1; 1); B(3; 3; 2); C(2; 3; 3); D(3; 2; 1).
6) A(3; 2; 1); B(2; 1; 2); C(3; 3; 1) D(1; 2; 3).
7) A(1; 2; 3); B(1; 2; 3); C(3; 1; 2); D(1; 3; 2).
8) A(3; 1; 2); B(2; 2; 2); C(1; 3; 2); D(3; 3; 1).
9) A(1; 3; 2); B(1; 2; 3); C(2; 1; 1); D(3; 1; 2).
10) A(1; 1; 1); B(1; 2; 3); C(2; 1; 1); D(2; 2; 3).
11) A(1; 2; 3); B(2; 1; 3); C(3; 2; 1); D(1; 2; 2).
12) A(1; 3; 2); B(1; 2; 1); C(2; 2; 1); D(2; 1; 3).
13) A(3; 1; 2); B(2; 2; 1); C(1; 2; 3); D(2; 3; 3).
14) A(2; 3; 2); B(1; 2; 3); C(1; 1; 2); D(3; 2; 1).
15) A(2; 2; 3); B(1; 1; 2); C(2; 3; 1); D(3; 2; 1).
16) A(2; 3; 1); B(1; 3; 2); C(3; 2; 1); D(2; 1; 3).
17) A(3; 1; 2); B(2; 1; 3); C(3; 2; 3); D(2; 2; 2).
18) A(2; 1; 3); B(1; 3; 2); C(1; 2; 1); D(3; 2; 2).
19) A(1; 1; 3); B(2; 1; 2); C(3; 2; 3); D(2; 3; 2).
20) A(1; 3; 2); B(2; 3; 1); C(3; 2; 1); D(2; 1; 2).
21) A(1; 2; 1); B(2; 2; 1); C(2; 1; 1); D(1; 3; 3).
22) A(1; 1; 2); B(2; 3; 1); C(1; 2; 3); D(2; 2; 1).
23) A(2; 2; 2); B(3; 1; 2); C(1; 2; 3); D(3; 2; 1).
24) A(2; 1; 3); B(2; 3; 1); C(1; 2; 3); D(3; 3; 2).
25) A(2; 2; 3); B(3; 3; 2); C(2; 3; 1); D(3; 2; 2).
26) A(2; 1; 2); B(3; 2; 3); C(1; 2; 3); D(3; 1; 1).
27) A(2; 2; 3); B(1; 1; 1); C(2; 3; 1); D(3; 3; 2).
28) A(2; 3; 1); B(1; 2; 1); C(2; 1; 2); D(3; 3; 2).
29) A(3; 2; 1); B(2; 1; 3); C(1; 1; 3); D(3; 3; 2).
30) A(2; 2; 3); B(3; 1;2); C(3; 1; 2); D(2; 3; 1).