4. Смешанное произведение трех векторов.
4.1. Основные понятия.
Опр.
Смешанное произведение трех векторов
,
и
есть число, равное скалярному произведению
вектора
=
на вектор
.
Обозначение:
= (
)
.
Теорема (геометрический смысл смешанного произведения).
Смешанное
произведение
трех
некомпланарных векторов
,
и
численно равно объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах, приведенных
к общему началу. Смешанное произведение
положительно,
если тройка векторов {
;
;
}
правая и отрицательно, если тройка
векторов {
;
;
}
левая.
Доказательство. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , и (рис.4.1).
h
Sосн.
O
Рисунок 4.1.
Тогда
для правой тройки векторов {
;
;
}
по определению скалярного произведения
векторов получим: (
)
=
cos
= Sосн.
h = V, где h
– высота параллелепипеда, V
– объем параллелепипеда, Sосн.
площадь его
основания,
[0;
].
Если {
;
;
}
левая тройка
векторов, то (
)
=
cos()
= Sосн.(
h) = = V.
Fin.
Следствие 1.
Ненулевые векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Доказательство.
1) Необходимость. Если векторы , , компланарны, то есть { ; ; } 1, тогда имеем ( ) = = ( ) = cos = 0 0=0
2) Достаточность. Если смешанное произведение = 0 ( ) = 0 ( ) = { ; ; } 1, то есть векторы , , компланарны. Fin.
Следствие 2.
Смешанное произведение трех векторов, два из которых коллинеарны, равно нулю, так как такие векторы компланарны.
Доказательство. Так как векторы свободные, то коллинеарные векторы параллельным переносом совмещаются с прямой. Оставшийся третий вектор переносится параллельно себе до пересечения с этой прямой и через них проводится плоскость. Следовательно, такие векторы компланарны. Fin.
4.2.Свойства смешанного произведения векторов.
Смешанное произведение трех векторов остается неизменным:
а) при перестановке знаков векторного и скалярного произведения;
б) при циклической перестановке перемножаемых векторов.
Смешанное произведение трех векторов меняет знак на противоположный при взаимной перестановке в нем любых двух векторов.
Доказательство:
а) если тройка векторов { ; ; } правая (левая), то имеем:
= ( ) = V (V) и ( ) = ( ) = V (V) = ( ) = ( ).
NB. Поэтому смешанное произведение записывается вообще без знаков векторного и скалярного умножения.
б) циклическая перестановка в базисной тройке векторов не меняет ее ориентации, следовательно, при этом знак смешанного произведения также не меняется. Но если в базисной тройке векторов поменять местами любые два вектора, то такая тройка изменит ориентацию, следовательно, при этом изменится и знак смешанного произведения. Поэтому имеем:
1)
=
=
=
;
2)
=
;
=
;
=
.
Fin.