1. Векторы

1. Основные понятия.

В природе существует два рода величин: скалярные и векторные.

Скалярная величина (скаляр) характеризуется только численным значением. Каждому скаляру ставится в соответствие действительное число. Поэтому, например, время, масса, температура  скаляры.

Векторная величина (вектор) характеризуется численным значением и направлением. Поэтому, например, сила, скорость, ускорение  векторы.

Векторы изображаются геометрическими векторами.

Опр. Геометрический вектор - это направленный отрезок заданной длины. Направление вектора указывает направление соответствующей векторной величины, а его длина пропорциональна численному значению этой величины.

Вектор с началом в точке А (точке его приложения) и концом в точке В обозначается символом либо одной строчной буквой с чертой (стрелкой) над ней (рис.1.1).

В

А

Рисунок 1.1

Длина отрезка АВ называется длиной (или модулем) вектора и обозначается символом   либо  . Следовательно, модуль вектора есть положительное число.

Существует три вида векторов: свободные, скользящие и связанные.

Свободный вектор можно перемещать параллельно самому себе в любую точку пространства.

Скользящий вектор можно перемещать параллельно самому себе только вдоль прямой, на которой он лежит. Например,

1. за точку приложения силы, действующей на твердое тело можно принимать любую точку на линии действия силы;

2. при вращательном движении вектор угловой скорости расположен на оси вращения.

У связанного вектора точка его приложения строго фиксирована.

В основе данного курса векторного исчисления лежит понятие свободного вектора, поскольку задание скользящего или связанного вектора можно заменить заданием двух свободных векторов.

Нулевой вектор – это вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается символом . Его длина равна 0, а направление произвольно. От числа 0 он отличается наличием направления.

NB . Нулевой вектор параллелен любому вектору.

Единичный вектор (орт) – это вектор единичной длины. Он обозначается символом . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается символом .

Два вектора и называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Их обозначение:  .

В частности, коллинеарные векторы и могут быть сонаправленными (т.е. динаково направленными) – обозначение  , и противонаправленными (т.е. противоположно направленными) - обозначение  .

Два вектора называются равными (обозначение = ), если они одинаковой длины и одинаково направлены.

Два ненулевых вектора называются противоположными, если они равны по длине и противоположны по направлению. Так, вектор противоположен вектору , а вектор  вектору ( ).

Три и более вектора называются компланарными, если они принадлежат одной плоскости или параллельным плоскостям.

NB1. Любые два вектора всегда компланарны, так как параллельным переносом их начала всегда можно совместить, а затем через эти векторы можно провести плоскость.

NB2. Если из трех векторов – два коллинеарны, то все они компланарны. В самом деле, параллельным переносом коллинеарные векторы можно совместить с прямой и на ней поместить начало третьего вектора. Тогда через прямую и неколлинеарный ей вектор можно провести плоскость.

NB3. Если из трех векторов – один нулевой, то все они компланарны. Действительно, если параллельным переносом совместить начала всех этих векторов, то через два ненулевых вектора можно провести плоскость.