Дослідження пружних властивостей біологічних тканин

Мета. Вивчити основні механічні властивості біологічних тканин, визначити модуль Юнга кісткової тканини методом прогину балки

Теоретичний вступ

Усі реальні тіла можуть деформуватися. Під дією прикладених сил вони змінюють свою форму і об'єм. Такі зміни називаються деформаціями. Типи деформацій:

Пружні деформації – які зникають після припинення дії сил.

Пластичні деформації – які частково зберігаються в тілі після припинення дії сил.

Пружна чи пластична деформація – залежить від матеріалу і від напруги. Механічна напруга – відношення прикладеної сили до площі поперечного перерізу:

σ=F/S.

Якщо напруга по поперечному перерізі розподілена нерівномірно, то потрібно користуватись диференціальною формою:

σ=dF/dS

Строго кажучи, деформації завжди є пластичні, але якщо вони достатньо малі для даної задачі – їх можна вважати пружними.

Будемо розглядати тільки пружні деформації. Тіла будемо вважати ідеально пружними. Для ідеально пружних тіл існує однозначна залежність між діючими силами і викликаними ними деформаціями. Обмежимось вивченням тільки малих деформацій. Малими називаються деформації, що підкоряються закону Гука: деформація пропорційна силі.

Є такі види пружних деформацій:

• Деформація розтягу або стиску. Візьмемо однорідний стержень і прикладемо до його основ розтягуючі або стискуючі сили. Стержень деформується. Зробимо уявний переріз. З боку лівої частини стержня сила діє на нього в один бік, з боку правої ─ в інший. Тому у кожному перерізі виникає напруга σ=F/S. При розтягу σ>0, при стиску σ<0. Якщо L₀ – довжина недеформованого стержня, то внаслідок прикладення сили його довжина – L=L₀+ΔL. Величина називається відносним видовженням стержня. При розтягу ε>0, при стиску ε<0. Досліди показують, що для не дуже великих пружних деформацій напруга σ пропорційна відносному видовженню:

σ=Eε, (1)

де E – стала, залежна тільки від матеріалу стержня і його фізичного стану, називається модулем Юнга. Розмірність E – Н/м². Формула (1) виражає закон Гука для деформації розтягу або стиску стержнів.

• Деформація зсуву. Нехай нижня грань куба закріплена, а на верхню діє дотична напруга τ:

Під її впливом квадрат переходить в ромб. Деформація характеризується не видовженням, а кутом зсуву γ. Для малого кута γ закон Гука записується в такому вигляді:

τ=Gγ

Стала G називається модулем зсуву і залежить тільки від матеріалу.

• Деформація кручення. Якщо прикласти до циліндра моменти сил, то він закрутиться на кут φ. Для малого кута φ закон Гука записується в такому вигляді:

M=fφ

f – модуль кручення. Він залежить не тільки від матеріалу, але і від розмірів циліндра.

• Деформація згину. Розглянемо однорідний брус довільного поперечного перерізу. Якщо при згині поперечний переріз бруса не змінюється, то всі поздовжні паралельні прямі переходять в дуги кіл, центри яких лежать на одній осі, яка проходить через точку O. У брусі завжди існує поздовжня лінія, довжина якої при згині не міняється. Вона називається нейтральною лінією. Вигнута площина, яка проходить через нейтральну лінію і перпендикулярна до площини рисунка, називається нейтральним перерізом. Усі зовнішні відносно нього волокна будуть розтягнуті, усі внутрішні – стиснуті.

Розглянемо волокно, що розмiщене на вiдстанi r вiд нейтрального перерiзу. Його довжина внаслiдок згину становить , тодi як довжина нейтральної лiнiї: , де R – радiус кривизни нейтральної лiнiї, α ─ кутовий розмір дуги. Видовження волокна: . Застосувавши до волокна закон Гука (1), одержимо вираз для поздовжньої напруги волокна:

Деформацiя бруса при згинi характеризується кутом α, який пропорцiйний до дiючого на брус моменту сил M. Отже, момент сил обернено пропорцiйний до радiуса кривизни R:

Коефiцiєнт мiстить лiнiйнi розмiри поперечного перерiзу i називається моментом iнерцiї поперечного перерiзу. Вiн є чисто геометричною величиною.

Для визначення модуля пружності методом прогину балки досліджуване тіло у формі порожнистого циліндра розміщується горизонтально на двох опорах. Якщо прикласти силу до середини балки перпендикулярно до її поздовжньої осі, вона буде прогинатись.

Для однорідної порожнистої циліндричної балки, яка може служити моделлю середньої частини (діафаза) стегнової кістки, величина прогину виражається формулою

, (1)

де F ─ діюча сила, Н;

l ─ довжина балки (відстань між точками опори, м;

D ─ зовнішній діаметр циліндра, м;

E ─ модуль Юнга, Па;

;

d ─ внутрішній діаметр циліндра, м.

З формули (1), замінивши F=mg, де m ─ маса тіла, що використовується для навантаження, g=9,8 Н/кг ─ прискорення вільного падіння, одержуємо робочу формулу:

(2)

Для стегнової кістки α=0,85.