3. Геометрія простору
3.1. Теоретичні відомості
Рівняння
прямої за точкою
і напрямляючим вектором
має вигляд: 
(канонічне)
або
– параметричне, де
– параметр. Якщо пряма задана, як перетин
двох площин:
,
і треба записати (канонічне) параметричне
рівняння прямої, достатньо знайти
будь-яку точку, координати якої
задовольняють систему рівнянь, і
обчислити координати напрямляючого
вектора
– і все це підставити у відповідне
рівняння.
Рівняння
площини за точкою
і
двома напрямляючими векторами
та
має
вигляд:
;
або
,
де
–
параметри.
Рівняння
площини за точкою
і
нормальним вектором
має вигляд:
.
Рівняння
площини у відрізках:
,
де
–
відрізки, які відтинає площина на осях
.
Умова
паралельності вектора
і площини
така:
.
Дві
площини, задані своїми рівняннями
і
,
перетинаються, якщо коефіцієнти при
змінних
не пропорційні; площини паралельні,
якщо
та
співпадають, якщо
.
Дві
прямі, задані своїми точками і напрямляючими
векторами:
і
– мимобіжні, якщо:
;
Якщо ж
,
і якщо вектори
та
не колінеарні (
,
або
,
або
),
то прямі перетинаються; якщо ж вектор
колінеарний до
і вони не колінеарні вектору
,
то пряма
паралельна до
;
якщо ж вектори
,
та
– колінеарні між собою, то прямі
співпадають:
.
Кут між двома прямими – це кут між їхніми напрямляючими векторами:
Кут між
прямою і площиною:
.
Поверхні другого порядку (17 типів):
1)
Еліпсоїд:
;
Уявний еліпсоїд:
;Однопорожнинний гіперболоїд:
;Двопорожнинний гіперболоїд:
;Еліптичний параболоїд:
;Гіперболічний параболоїд:
;Конус:
;Уявний конус:
;Еліптичний циліндр:
;Гіперболічний циліндр:
;Параболічний циліндр:
;Уявний еліптичний циліндр:
;Циліндр, що розпався на пару площин, що перетинаються (по вісі
):
;Циліндр, що розпався на пару уявних площин, що перетинаються по прямій (по вісі ):
;Циліндр, що розпався на пару паралельних площин
;Циліндр, що розпався на пару уявних паралельних площин:
;Циліндр, що розпався на пару співпавших площин:
.
3.2. З а д а ч і
Задача
№21. Знайти
рівняння площини, що проходить через 0
– початок
координат і пряму
:
1.
|
16.
|
2.
|
17. l: x=1+ t, y= -1+ t, z=2+5t; |
3.
|
18.
|
4.
|
19.
|
5.
|
20.
|
6.
|
21.
|
7.
|
22. |
8.
|
23.
|
9.
|
24.
|
10.
|
25.
|
11.
|
26.
|
12.
|
27.
|
13.
|
28.
|
14.
|
29.
|
15.
|
30.
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Задача №22. Обчислити об’єм тетраедра SABC, площу грані ABC і висоту, опущену з вершини S на грань ABC:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.
Задача №23. Скласти рівняння площини, якщо точки A і B симетричні відносно неї. Вказати точку перетину площини з відрізком AB.
-
1.
;16.
;2.
;17.
;3.
;18.
;4.
;19.
;5.
;20.
;6.
;21.
;7.
;22.
;8.
;23.
;9.
;24.
;10.
;25.
;11.
;26.
;12.
;27.
;13.
;28.
;14.
;29.
;15.
;30.
.
Задача №24. Через точку A провести площину, перпендикулярну до двох даних площин:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.
Задача №25. 1) Скласти параметричне рівняння прямої , що проходить через дану точку A і перетинає дві дані прямі.
2) Вказати точки перетину прямої з даними прямими.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.
Задача
№26. Знайти
проекцію точки
на площину
і точку, симетричну до точки
відносно
:
1. |
16. |
2. |
17. |
3. |
18. |
4. |
19. |
5. |
20. |
6. |
21. |
7. |
22. |
8. |
23. |
9. |
24. |
10. |
25. |
11. |
26. |
12. |
27. |
13. |
28. |
14. |
29. |
15. |
30. |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Задача №27. Знайти рівняння проекції прямої на площину :
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.
Задача №28. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох даних площин:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Задача №29. На відстані 5 одиниць від даної площини провести площину, паралельну їй (скласти рівняння площини):
-
1.
;16.
;2.
;17.
;3.
;18.
;4.
;19.
;
5.
;20.
;
6.
;21.
;
7.
;22.
;8.
;23.
;9.
;24.
;
10.
;25.
;11.
;26.
;12.
;27.
;13.
;28.
;14.
;29.
;15.
;30.
.
Задача №30. Знайти точку перетину прямої і площини:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.
Задача №31. Встановити взаємне розташування двох прямих (співпадають, паралельні, перетинаються, мимобіжні):
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.
Задача №32. Дослідити тип поверхні другого порядку. Вказати систему координат, в якій дана поверхня має канонічний вид. Зобразити схематично дану поверхню.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
;
17.
;
18.
;
19.
;
20.
;
21.
;
22.
;
23.
;
24.
;
25.
;
26.
;
27.
;
28.
;
29.
;
30.
.