Міністерство освіти і науки україни кіровоградський державний педагогічний університет імені володимира винниченка

Л.В. Ізюмченко

Аналітична геометрія Кіровоград – 2005

УДК 514.12

ББК 22.151.5

І 86

Ізюмченко л.В. Аналітична геометрія: Навчально-методичний посібник. – Кіровоград: кдпу ім. В. Винниченка, 2005. – 100 с.

У даному посібнику розглядаються основні поняття аналітичної геометрії з таких тем: елементи векторної алгебри, метод координат, пряма лінія і криві другого порядку на площині, пряма, площина та поверхні другого порядку у просторі. Посібник дає можливість більш ефективно організовувати самостійну роботу студентів по основним питанням курсу „Аналітична геометрія”, що вивчається на фізико-математичному факультеті педагогічного університету. Він містить завдання з аналітичної геометрії: 32 задачі по 30 варіантів, теоретичні відомості, необхідні для їх розв’язання, та методичні вказівки із зразком виконання кожної задачі. Наведені відповіді дозволяють перевірити свої міркування в ході розв’язання задач.

Посібник рекомендується для використання на практичних заняттях з аналітичної геометрії та для організації індивідуальної роботи студентів фізико-математичного факультету денної та заочної форми навчання.

Рецензент: доктор фізико-математичних наук, професор О.В. Авраменко

кандидат фізико-математичних наук, доцент З.П. Халецька,

Затверджено до друку методичною радою КДПУ ім. В. Винниченка (протокол № 14 від 17.06.2005 р.).

ББК 22.151.5

І 86

© Ізюмченко Л.В., 2005

ВСТУП

У посібнику представлені задачі з аналітичної геометрії, що є класичними і стали частиною загальноматематичної культури. Крім того, є задачі, що мають певну родзинку та потребують попереднього дослідження перед розв’язанням

Кожний розділ складається з теоретичних відомостей, циклу задач, методичних вказівок до розв’язування кожної задачі та відповідей до них. Це дає можливість використовувати збірник й тим, хто вивчає аналітичну геометрію самостійно.

Окремі питання можуть стати тематикою факультативних занять, гуртків з геометрії для учнів 7-11 класів, що забезпечує зв’язок даної дисципліни з шкільним курсом геометрії.

Навчально-методичний посібник буде корисним для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних вузів, а також для студентів, учнів та вчителів математики інших навчальних закладів, де вивчаються основи аналітичної геометрії. Особливо дана робота буде корисною для студентів заочної форми навчання.

Хочу побажати усім отримувати задоволення від успішного розв’язання задач.

1. Векторна алгебра

1.1. Теоретичні відомості

Вектор – це напрямлений відрізок. Два вектори рівні ( ), якщо виконуються одна з трьох рівносильних умов:

1. вони суміщаються паралельним переносом;

2. вони співнапрямлені і мають рівні довжини;

3. їхні координати рівні.

Сумою двох векторів і називається такий третій вектор ( ), що сполучає початок першого вектора і кінець другого, якщо початок другого співпадає з кінцем першого вектора (правило трикутника):

Добутком вектора на дійсне число називається такий вектор ( ), який задовольняє дві умови:

1) – довжина вектора в раз відрізняється від модуля вектора ;

2) , і , якщо .

Два вектори називаються колінеарними ( ), якщо існує пряма, якій вони паралельні.

Вектори і колінеарні тоді і лише тоді, коли виконується одна з шести рівносильних умов:

а) існує таке дійсне число , що , або ;

б) координати векторів і пропорційні;

в) векторний добуток векторів і дорівнює нуль-вектору;

г) ранг матриці, що складається з координат векторів і , дорівнює одиниці;

д) скалярний добуток векторів і дорівнює добутку довжин векторів, взятому з знаком плюс або мінус;

е) вектори і лінійно залежні.

Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, якій вони паралельні. Три вектори компланарні тоді і лише тоді, коли виконується одна з чотирьох рівносильних умов:

а) один з векторів лінійно виражається через інші, тобто або або ;

б) вектори – лінійно залежні;

в) мішаний добуток векторів ( )=0;

г) визначник, складений з координат цих векторів, дорівнює 0.

Якщо вектори – некомпланарні, то для будь-якого вектора існують єдині числа такі, що .

Скалярним добутком двох векторів і називають число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними

Векторним добутком двох векторів і , називають третій вектор такий, що виконується три умови:

а) модуль вектора : , де кут );

б) вектор ортогональний до векторів і ;

в) трійка – правоорієнтована.

Мішаним добутком трьох векторів , і називають скалярний добуток векторного добутку перших двох векторів на третій:

– позначення.

В ортонормованому базисі , якщо вектори і мають координати і , відповідно, скалярний добуток обчислюється за формулою: ; векторний добуток обчислюється: , мішаний добуток обчислюється: , де – координати вектора .

Якщо є координати кінців вектора , то координати вектора ; довжина вектора обчислюється за формулою ; кут між векторами (косинус кута):

Площа паралелограма, побудованого на векторах і , є модулем векторного добутку цих векторів: ,

а площа трикутника, побудованого на цих векторах, дорівнює половині площі паралелограма:

Об’єм паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах , дорівнює модулю мішаного добутку: , а об’єм трикутної піраміди (тетраедра), побудованого на векторах , дорівнює об’єму паралелепіпеда: .

1.2. З а д а ч і

Задача №1. На площині дано 2 вектори і . Довести, що вектори і утворюють базис площини і знайти координати вектора у базисі :

1. ;	11. ;	21. ;
2. ;	12. ;	22. ;
3. ;	13. ;	23. ;
4. ;	14. ;	24. ;
5. ;	15. ;	25. ;
6. ;	16. ;	26. ;
7. ;	17. ;	27. ;
8. ;	18. ;	28. ;
9. ;	19. ;	29. ;
10. ;	20. ;	30. .

Задача №2. Чи колінеарні вектори і , побудовані за векторами і :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задача №3. Обчислити кут між векторами і , якщо і - одиничні взаємно-ортогональні вектори :

1. ;	16. ;
2. ;	17. ;
3. ;	18. ;
4. ;	19. ;
5. ;	20. ;
6. ;	21. ;
7. ;	22. ;
8. ;	23. ;
9. ;	24. ;
10. ;	25. ;
11. ;	26. ;
12. ;	27. ;
13. ;	28. ;
14. ;	29. ;
15. ;	30. .

Задача №4. Чи компланарні три вектори , , :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задача №5. Знайти довжини і діагоналей і площу S паралелограма, побудованого на векторах і :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задача №6. Довести, що вектори , , утворюють базис і знайти координати вектора у цьому базисі:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28 ;

29. ;

30. .