IV. Производная.
Обязательный начальный уровень: определение производной, её геометрический и физический смысл, уравнение касательной, правила дифференцирования, таблица производных. Дифференциал (определение и формула для вычисления).
Определение производной функции в точке. Примеры вычисления производной по определению. Физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.
Доказательство теоремы о связи существования производной и непрерывности функции в точке. Доказательство того, что функция
не дифференцируема в точке
.Правила дифференцирования с выводом формул.
Вывод таблицы производных.
Доказательство теорем о производной обратной функции и производной сложной функции.
Дифференцируемость функции в точке. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке.
Дифференциал. Определение. Получение формулы для вычисления. Применение в приближённых вычислениях.
Основные теоремы дифференциального исчисления с геометрической интерпретацией.
Правило Лопиталя с доказательством. Раскрытие неопределённостей: по правилу Лопиталя.
V. Исследование функций методами дифференциального исчисления
Обязательный начальный уровень: монотонность функции, точки локального экстремума, выпуклость графика функции на промежутке, точки перегиба. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое условие локального экстремума, первое достаточное условие локального экстремума, достаточное условие выпуклости, необходимое условие точки перегиба, достаточное условие перегиба.
Доказательство критерия постоянства функции.
Монотонность функции. Доказательство достаточного условия монотонности.
Определение точек локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
Доказательство двух достаточных условий локального экстремума.
Задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Выпуклость функции на отрезке. Доказательство достаточного условия выпуклости.
Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
Асимптоты (вертикальная, горизонтальная, наклонная). Доказательство теоремы об асимптоте.
VI. Теория интегрирования
Обязательный начальный уровень: первообразная, неопределённый интеграл, его геометрический смысл и свойства. Формула интегрирования по частям. Задача нахождения площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл, его геометрический смысл и свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Формула замены переменной и интегрирование по частям для определённого интеграла.
Первообразная (доказательство теоремы о первообразных). Неопределённый интеграл. Доказательство свойств неопределённого интеграла.
Доказательство теоремы о замене переменной в неопределённом интеграле.
Вывод формулы интегрирования по частям для неопределённого интеграла. Классы функций интегрируемых по частям.
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование различных классов функций.
Задача нахождения площади криволинейной трапеции. Определённого интеграла и его геом. смысл.
Доказательство свойств определённого интеграла.
Доказательство теоремы о среднем значении определённого интеграла. Её геометрический смысл.
Доказательство необходимого условия интегрируемости. Функция Дирихле. Достаточное условие интегрируемости.
Интеграл с переменным верхним пределом. Доказательство теоремы о производной от интеграла с переменным верхним пределом.
Вывод формулы Ньютона-Лейбница.
Доказательство теоремы о замене переменной для определённого интеграла.
Ввод формулы интегрирования по частям для определённого интеграла. Классы функций интегрируемых по частям.
Применение определённого интеграла для вычисление площадей.
Несобственные интегралы первого и второго рода.