Метод касательных (метод Ньютона);

Для решения нелинейного уравнения по методу касательных справедлива Теорема 2.

Пусть функция y = f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теоремы 1, т.е. уравнение (1.1) имеет на этом отрезке единственный корень.

Если функция y=f(x) имеет 2-ую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х₀ , удовлетворяющего условию:

f(x₀) f ^’’ (x₀ )>0, (1.6)

корень уравнения (1) можно вычислить с точностью  по формуле

(1.7)

1. Выберем начальное приближение.

Начальное приближение x₀ выбирается, исходя из условия

f(x₀) f ^’’(x₀) >0. Для функции (изображенной на рисунке) 2-ая производная больше 0 (f ^’’(x₀) > 0, функция выпукла книзу), f(a)<0, f(b)>0, следовательно, x₀ = b (в т. x₀ = а данное условие не выполняется).

2. Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке A₀[x₀, f(x₀)].

3. В качестве 1-го приближения корня х₁ возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ.

4. Через точку А₁[x₁, f(x₁)]. снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х₂ и т.д.

5. Продолжим процесс, в результате получим итерационную последовательность x₀ , x₁, x₂,……x_n,

6. Формула для вычисления n-ого приближения

7. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится одно из условий

Или

Если хоты бы одно из условие (1.4) или ( 1.5) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (1.1) с точностью  принимается n-я итерация, т.е. .

Если ни одно из условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.