4. Задания и порядок их выполнения

1. Задание1

2. Задание2

3. Задание3

Варианты заданий

4.1 Задание 1

Задание 1. Решить уранение f(x)=0, т.е. значение абсциссы точки пересечения х^* графика функции y=f(x) с осью Х. Вид функции определяется по последней цифре зачетной книжки.

Для решения нелинейного уравнения необходимо, использовать приближенные (итерационные) методы, согласно варианту. Алгоритм решения нелинейного уравнения состоит из двух этапов:

1-й этап: Отделение корней, т.е выделения отрезка, на котором функция имеет единственный корень

1. Представьте функцию в виде сеточной функции на произвольном отрезке [a,b] с шагом h=(b–a)/n (n=20). (см. раздел 1, п. 2).

2. Постройте график функции.

3. Определите количество корней уравнения f(x)=0 и все отрезки, на которых функция имеет корни.

4. Выберите один из корней, постройте таблицу значений и график для заданной функции на выбранном отрезке.

2-й этап: Уточнение корня, т.е. вычисление корня уравнения с заданной точностью  методом в соответствии с вариантом (Метод решения нелинейного уравнения определяется по последней и предпоследней цифре номера зачетной книжки студента).

1. Определите начальное приближение корня x₀, исходя из условия для его определения.

2. Вычислите последовательность приближений корня x₁, …, x_n по методу в соответствии с вариантом (см. раздел 1, п. 4, 5, 6)

3. Сделайте соответствующие выводы по полученным результатам, установите зависимость количества итераций от задаваемой точности е, равной 0.1; 0.01; 0.001 и т.д. (Использовать надстройку Условное форматирование)

Вычислите корень уравнения с помощью надстройки Данные/Поиск Решения

(см. раздел 1, п.8)

4.2. Задание 2

Задание 2. Вычислить интегралы от заданной функции, используя методы численного интегрирования.

Для вычисления интегралов необходимо использовать формулы численного интегрирования в соответствии с вариантом.

Необходимо:

1. Вычислите интегралы на отрезке для функции, принимающей на этом отрезке только положительные значения, используя методы численного интегрирования для двух видов разбивок: n=5 и n=10, т.е. вычислить интегральные суммы

2. О цените δ=|б₅ - б₁₀|. Если δ <  (=0.01), то сделать вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса.

3. Вычислите интегральные суммы

4. Оцените δ. Сравните полученные результаты с точностью =0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 и т.д.

Просчитайте контрольный пример для случая n=2 или n=3, используя формулу трапеций для численного интегрирования. Сравнить с полученными выше результатами.

4.3. Задание 3

Задание 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений итерационным методом Якоби с заданной точностью.

Для расчета используйте СЛАУ в соответствии с вариантом.

Проанализировать сходимость итерационного процесса в зависимости от =0,1;. 0,01;.. 0,001.

Для расчета используйте СЛАУ из задания 3.1. Вычислите определитель системы и сделайте вывод о существовании и единственности решения системы

1. Преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

2. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки «Поиск решения».

3. Решите вручную систему методом Якоби, вычислив три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор . Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для =0,1.

4. Решите систему методам Якоби с точностью =0,01, используя приложение MS Excel (cм. Раздел 4)

Исследуйте сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (см. Раздел 4, рис.4.3.**).