2. Связь между коэффициентами Эйнштейна.

Пркедставляет интерес выяснить соотношение между коэффициентами Эйнштейна для соответствующих квантовых переходов. Для решения этой задачи используем следующие рассуждения:

Рассмотрим ансамбль атомов в состоянии теплового равновесия при температуре T. Пи этом на уровне Е_m находитсяN_m частиц, а на уровнеЕ_nсоответственно N_nчастиц. Количество поглощенных и излучённых квантов за интервал времени dt будет одинаково (система находится в состоянии теплового равновесия).

Число индуцированно поглощенных квантов за интервал времени dtбудет равно:

Число индуцированно испущенных квантов –

Число спонтанно испущенных квантов –

Условие термодинамического равновесия предполагает, что суммарное число испущенных системой квантов равно числу поглощенных квантов, то есть:

Или

Учитывая, что в состоянии теплового или термодинамического равновесия распределение атомов (молекул) по энергетическим уровням определяется соотношением Больцмана, получаем:

Соответственно,

Где N – полное число частиц в системе, q₁ иq₂ – статистические веса или по другому – кратность вырождения уровней Е₁ и Е₂. – совокупность всех энергетических состояний в системе.

Квантовые состояния могут быть вырожденными и невырожденными. В случае невырожденного состояния каждому набору квантовых чисел соответствует энергетический квантовый уровень с определенной энергией. Вырожденные уровни различаются набором квантовых чисел, но имеют один и тот-же уровень энергии. Количество комбинаций квантовых чисел для данного энергетического уровня называют кратностью вырождения или статистическим весом уровня.

Еще один момент, который нельзя упускать из виду заключается в том, что в нашем случае важно не просто количество частиц в данном энергетическом состоянии N, а заселенность данного энергетического уровня, т.е. отношение числа частиц на уровне к его статистическому весу.При этом соотношение Больцмана для пары уровней запишется в виде:

Тогда условие термодинамического равновесия можно переписать в виде:

Данное соотношение справедливо при любых температурах. Рассмотрим ограниченную задачу – высокие температуры и низкочастотная область спектра. Решение этой задачи удовлетворительно описывает формула Рэлея-Джинса.

1. Если температура стремится к бесконечности, то и спектральная плотность излучения также неограниченно возрастает. Соответственно, стремится к единице, а

.

В случае, если кратности вырождения обоих уровней равны, то и коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов с поглощением и излучением равны, то есть вынужденные переходы с излучением и поглощением равновероятны.

2. Найдем соотношение между A₂₁иB₂₁

Зная что

Получаем:

Учитывая, что при высоких температурах разница значительно меньше , экспоненту можно разложить в ряд, оставив после разложения только один член., соответственно

Учитывая формулу Рэлея-Джинса и при выполнении условия = получим

Соотношения между коэффициентами Эйнштейна являются общими и не зависят от внешних условий и типа вещества.